Уравнение в целых числах

[Ktina]

Для каждого целого d уравнение $a^2+b^2=c^2+d$ имеет бесконечно много решений в целых числах a, b, c. Доказать.

[lim0n]

Ktina в сообщении #522823 писал(а):

имеет бесконечно много решений

А если $d=-c^2$?

[Ktina]

lim0n в сообщении #522829 писал(а):

Ktina в сообщении #522823 писал(а):

имеет бесконечно много решений

А если $d=-c^2$?

В каждом случае d - фиксированное, оно не может зависеть от c.
Попробуйте решить частный случай d=3, затем обобщите.

[Klad33]

Существует бесконечное число пифагоровых троек:

$a^2+b^2=c^2+0$

Если вместо 0 поставить d , то также будем иметь бесконечное множество решений, если a, b, c - пифагоровы тройки.

[Ktina]

Klad33 в сообщении #522845 писал(а):

Если вместо 0 поставить d , то также будем иметь бесконечное множество решений, если a, b, c - пифагоровы тройки.

Вы хотели сказать "если вместо d поставить 0"?

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #522845 писал(а):

Если вместо 0 поставить d , то также будем иметь бесконечное множество решений, если a, b, c - пифагоровы тройки.

Это вряд ли. Задача решается совершенно из других (и более простых) соображений. Но у меня такое ощущение, что эту тему мы уже раньше обсуждали.

[Shadow]

Очень даже простые соображения. $a^2-d=(c+b)(c-b)$ Можем даже зафиксировать (хотя и необязательно) $c-b=1$ и подбирать а противоположной на d четности. Говорите $d=3$ Ok.
$\\a=2,b=0,c=1\\ a=4,b=6,c=7\\ a=6,b=16,c=17 $
Ну и так далее. В общем виде для $d=3, a=2k, b=2k^2-2, c=2k^2-1$
Для четных d подбираем нечетные a.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #522892 писал(а):

Очень даже простые соображения. $a^2-d=(c+b)(c-b)$

Конечно, именно эти. Ведь все знают, какие целые числа представимы в виде разности двух квадратов.