Температура сферической поверхности на разных радиусах.

[x-positive]

Пытаюсь программно решить задачу.. Нужно узнать температуру тела в точках, по мере их удаления от источника нагревания/охлаждения в разные моменты времени. Форма тела может быть разной, но конкретно интересует такая задача:

Сферическая поверхность внешнего радиуса $R$, внутреннего радиуса $r$ температуры $T$ находится в однородной изотропной среде температуры $T_{out}$ и имеет внутри ещё один источник тепла с температурой $T_{in}$. Время опыта $t$, нужна формула для определения температуры каждый момент времени Δt в точке сферы на радиусе Δr. Известны также коэффициент теплопроводности сферы λ, удельная теплоёмкость с, плотность ρ, и постоянные температуры $T_{out}$ и $T_{in}$ соответсвенно вокруг сферы и внутри, температура плавления нагреваемого/охлаждаемого вещества $T_{\max}$. Необходимо также учесть, что сфера может плавиться снаружи или внутри, изменяя свой размер.

Элементарный пример задачи - полый шарик льда, опущенный в стакан воды нагревается со временем и тает..

Столкнулся с большой проблемой. Дело в том, что я не математик, и не физик. Я программист и электронщик. Я знаю как переводить решения задачи в понятный компьютеру язык, но я не могу понять решения самой задачи, то есть не могу вывести необходимую мне формулу из общей формулы теплопроводности. Пролистал много литературы, качал книги, искал на форумах. Знаю, что формула примет примитивный вид, но вывести её не получается.. А объяснить что такое дифференциал или интеграл для компьютера - равноценно самоубийству (короче, очень тяжело). Поэтому ищу пути выделить именно мою формулу, без дифференциалов. В целом моя задача решена, даже учтено что тело будет плавиться.. Но всё заглохло на формуле..

[Munin]

На самом деле, объяснить, что такое дифференциальное уравнение, компьютеру не только просто, а они (компьютеры) изначально для этого вообще и были созданы. Это называется численное решение дифференциальных уравнений, прежде всего конечно-разностными методами. По нему написаны тонны учебников. Это входит в стандартную подготовку программистов-электронщиков.

[x-positive]

Извините, в приписке о том, кто я такой я указал некорректно сокращённую информацию.

Никакой я не программист. Этим я пытался передать, что с компьютером общаюсь на хорошем уровне. Я самоучка, который занимается веб-разработкой и дизайном, поэтому с компьютером я общаюсь на хорошем уровне, но указать ему как решается диф. уравнение - это не моё.

Даже не смотря на то, что это возможно и легко - мне попросту даже нечего указывать компьютеру, потому что у меня попросту нет готовой формулы.. Потому что я не так и не смог её вывести из общей формулы.. Да что скрывать, я даже не смог понять общую формулу до конца.. Так и не понял, что к чему. Вот, скажем, общая формула теплообмена выглядит так (если я не ошибаюсь):

ρcδT/δτ=∇(λgradT)+QV

да я даже не могу его правильно написать, потому что я видел столько его вариаций.. википедия.. другие сайты.. для меня нереально тяжело разобраться во всех математических записях.. усложняют эту проблему более всего обозначения div, grad, ∇ и, именно в плане перевода это в компьютерные формулы - δ (дифференциалы).. вот если бы я мог это понять, было бы просто преобразовать эту формулу относительно искомой температуры T, а потом преобразовать под сферу.. Но поскольку мы изучали математику в кратце, только в общих терминах, я понятия не имею ни о дивергенции, ни о градиентах, ни о их физических смыслах и понятих, и как вообще с ними работать, как преобразовать формулу, где они встречаются.. и имею проблемы с дифференциалами, хотя с ними, безусловно, всегда справляюсь.. кроме случаев общения с компьютером... Очень бы хотелось действительно во всём этом разобраться.

И учусь я на биомедицинскую аппаратуру, а сокращённо почему-то указал - электронщик. Хотя вы наверное понимаете разницу.. В нашей программе подготовки есть существенная разница. Не смотря на это, вы правы, в нашу начальную подготовку, по программе входит решение диф. уравнений численными методами. Дело в том, что это наша последняя тема, после чего мы благополучно прекращаем изучение информатики в целом. И честно сказать, мы так и не говорили о том, как решать диф. уравнения через компьютер. Мы просто из общей формулы теплопроводности вывели более узкую - формулы теплопроводности ... прямой линии (стержня) и вбили это в программу. Там ни дифференциалов ни интегралов.. ничего нет.

Поскольку я самоучка, мне удалось выйти по этому предмету на более высокий уровень, чем мои однокурсники, и мне персонально было подобрано более сложное задание, чтобы отстоять оценку. Всё задание было благополучно решено, что касается информатики, но математическая физика.. это не по моей части. И я завис на одной только формуле.. вот уже больше недели... Это ужасная трата времени.. И мне предстоит ещё много другой работы. А с этим нужно поскорее справиться, и вот эта одна формула.. Мне действительно нужна помощь.. Ждать её от одногруппников - бессмысленно, их задание было намного проще, и никто из них даже не заворачивался никакими дифференциалами.. их попросту не было. Найти в интернете необходимую информацию пока так и не удалось. Вот и обратился на форум.

[Munin]

x-positive в сообщении #522697 писал(а):

Учусь я на биомедицинскую аппаратуру, а сокращённо почему-то указал - электронщик.И никакой я не программист.

А. Ясно. Извините, я этого не знал.

Вам нужно прочитать учебник по уравнениям математической физики, и учебник по численным методам. Вместе взятые, они дадут объяснение, как всё это рассчитать на компьютере. Если вы уже что-то проходили, учебник вам пригодится как справочник по уже известным темам.

x-positive в сообщении #522697 писал(а):

Мы просто из общей формулы теплопроводности вывели более узкую - формулы теплопроводности ... прямой линии (стержня) и вбили это в программу. Там ни дифференциалов ни интегралов.. ничего нет.

Я не понимаю, что значит "вбили в программу". Вы должны были составить расчётную схему (которая ставит в соответствие дифференциалам и интегралам конечные разности и суммы), и её запрограммировать.

"Общая формула теплопроводности" - это, видимо, уравнение теплопроводности? И теперь вы не знаете, как его задать для случая шара? В учебниках по ураматам это расписано - случай сферических координат.

x-positive в сообщении #522697 писал(а):

Найти в интернете необходимую информацию пока так и не удалось. Вот и обратился на форум.

В интернете есть все необходимые вам учебники.
http://lib.dyndns.tv/_djvu/_catalog/index_226.html
http://lib.dyndns.tv/_djvu/_catalog/index_228.html
http://lib.dyndns.tv/_djvu/_catalog/index_229.html <- наиболее прицельно
http://lib.dyndns.tv/_djvu/_catalog/index_211.html
http://lib.dyndns.tv/_djvu/_catalog/index_212.html <- наиболее прицельно

[x-positive]

Спасибо большое за помощь.
Там очень много книг, я уверен что найду полезную информацию.

Цитата:

В учебниках по ураматам это расписано - случай сферических координат.

Вот за такую информацию отдельное огромное спасибо!

Цитата:

Я не понимаю, что значит "вбили в программу".

У меня есть формула, которую мы использовали:

$T_i=t_i+y\cdot(\operatorname{delta}t)(t_{i-1}-2t_i+t_{i+1})/(c\cdot\operatorname{ro}\cdot(\operatorname{delta}x)^2);$

Это как бы формула нахождения температуры в разных точках стержня.
Как видите, дифференциалов тут нет, но я вообще не пойму, откуда взята эта формула, и насколько она верна тоже не могу проверить. Мне кажется это вообще неправильная формула.
Ну и вот, когда я выведу подобную формулу для сферы, у меня всё заработает.
Ну, я уже предполагаю, что выкручиваться мне придётся совсем другими способами.

[Munin]

Буква "дельта" обозначается: \Delta - $\Delta,$ \delta - $\delta.$
"Ро": \rho - $\rho.$
Знак умножения, хотя и можно обозначать точкой, лучше никак не обозначать, пока это не приводит к нечитаемости. Деление лучше обозначать "двухэтажной" дробью, если это не приводит к нечитаемости.

Дифференциалы заменены на конечные разности: $dx\to\Delta x\equiv x_{i+1}-x_i,$ $dt\to\Delta t_{i+1/2}\equiv t_{i+1}-t_i,$ $d^2t\to t_{i+1}-2t_i+t_{i-1}.$ Список подобных замен диктуется конечно-разностной схемой, используемой для численного решения дифференциального уравнения. Вообще говоря, для одного и того же уравнения можно создать разные схемы, которые будут по-разному себя вести. Если вычисления по ним будут успешны, то они дадут примерно одинаковые решения, с расхождениями за счёт погрешностей, но этого никто не гарантирует: вычисления могут не сойтись, если схема будет неудачно выбрана. Поэтому выбор схемы для конкретной математической задачи - отдельная сложная вещь, изложенная в учебниках по численным методам.

В данном случае, видимо, схему выбрали за вас, и не объяснили, почему она будет в данном случае работоспособной.

x-positive в сообщении #522748 писал(а):

Ну и вот, когда я выведу подобную формулу для сферы, у меня всё заработает.

Я уже говорил, что ваша задача распадается на два этапа: найти аналитическое дифференциальное уравнение, которое вы будете решать, и подобрать для его решения численный метод. Причём не обязательно, что у вас получиться только одна "формула", которую вы сможете подставить за один проход по области решения: в зависимости от уравнения и выбранного метода, у вас может получиться схема вычислений в несколько проходов (например, метод прогонки), или даже итерационный метод, требующий многократных вычислений для последовательного приближения к результату с заданной точностью.

[x-positive]

Цитата:

Буква "дельта" обозначается: \Delta - \delta -
"Ро": \rho -
Знак умножения, хотя и можно обозначать точкой, лучше никак не обозначать, пока это не приводит к нечитаемости.

Спасибо, впервые на форуме, не получалось никак их использовать.

Цитата:

Деление лучше обозначать "двухэтажной" дробью, если это не приводит к нечитаемости.

Опять же не получилось, не знаю как это делается пока что.

Цитата:

В данном случае, видимо, схему выбрали за вас, и не объяснили, почему она будет в данном случае работоспособной.

Ну да, особо с нами церемониться не будут, особенно с учётом того, что на этой теме мы закончили изучение предмета в целом.

Цитата:

Я уже говорил, что ваша задача распадается на два этапа: найти аналитическое дифференциальное уравнение, которое вы будете решать, и подобрать для его решения численный метод.

Вот-вот.. этим сейчас и занимаюсь..

Цитата:

Причём не обязательно, что у вас получиться только одна "формула"

Там уже в зависимости от того что получится программу легко будет подстроить..

Ну а в целом сейчас именно и пытаюсь вникнуть во все эти дела, разобраться.. В конечном итоге некоторая практическая значимость есть и для моей специальности в будущем, и хотелось бы на будущее лучше понимать все ньюансы подобных задач.

Спасибо, далее попробую уж разобраться.

[whiterussian]

На форуме принято записывать формулы, используя нотацию $\TeX$ (введение, справка).

[Idol_111]

Может поможет.http://works.tarefer.ru/89/100230/index.html