Прошу разъяснить Третью ситуацию. Где у меня ошибка?
Уж больно перегружены деталями Ваши "ситуации". Ошибка состоит, собственно, в том, что Вы неправильно интерпретируете эффект Доплера как замедление или ускорение времени. В релятивистском эффекте Доплера "замедление" времени как таковое составляет только некоторую часть (поперечный эффект Доплера), причём, не всегда с тем же знаком (в том смысле, что поперечный эффект Доплера всегда уменьшает частоту сигнала, в то время как продольный увеличивает или уменьшает в зависимости от направления движения).
Вложение:
CTO-twins-1.gif [ 3.76 Кб | Просмотров: 2348 ]
Вот пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая Вашу "третью ситуацию". Ракеты разлетаются в разные стороны, потом возвращаются назад. Этапами ускорения и торможения пренебрегаем, считая их чрезвычайно короткими. Ракеты удаляются от неподвижного наблюдателя со скоростями

в течение

лет по часам неподвижного наблюдателя (относительно друг друга их скорость равна

), затем разворачиваются и с такой же скоростью возвращаются назад. Поэтому по неподвижным часам экспедиция займёт

лет. Коэффициент замедления времени в ракетах с точки зрения неподвижного наблюдателя составляет

, поэтому по часам на ракетах этап удаления от точки старта продолжается

года, и столько же - этап возвращения, то есть, вся экспедиция по часам ракет занимает

лет.
Вашу сигнализацию тоже упростим. Пусть каждый из трёх наблюдателей (двое в ракетах и один, оставшийся в точке старта) раз в секунду посылает двум другим короткий импульс, по которому они будут следить за ходом времени у него.
На этапе удаления неподвижный наблюдатель будет видеть приходящие к нему сигналы с частотой

, то есть, один раз в

секунды, поэтому неподвижный наблюдатель будет видеть удаление втрое дольше, то есть,

лет. На рисунке зелёная и (верхняя) красная линия изображают мировые линии сигналов, посланных с ракет в момент поворота. Это же время можно посчитать иначе: ракета удаляется (по условию)

лет со скоростью

и оказывается на расстоянии

световых года, и сигнал о повороте идёт оттуда ещё

года, всего получается

лет.
На этапе сближения неподвижный наблюдатель будет принимать сигналы с частотой

, поэтому приближающиеся ракеты он будет наблюдать в течение

года. Итого, с его точки зрения, экспедиция займёт

лет, что согласуется с полученным ранее значением.
Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения наблюдателя, находящегося в ракете (пусть в той, которая на рисунке полетела налево). На рисунке (нижняя) красная линия изображает мировую линию сигналов , которые наблюдатель в левой ракете получает в момент поворота).
Неподвижный наблюдатель удаляется от наблюдателей в ракетах с той же скоростью

, поэтому сигналы от него приходят с частотой

, так что в течение своих

лет наблюдатель в ракете получит от неподвижного сигналы за

год. Затем ракета поворачивает (в этот момент расстояние от ракеты до неподвижного наблюдателя, с точки зрения пассажиров ракеты, составляет

светового года - коэффициент сокращения расстояния равен

), и теперь частота приходящих сигналов будет равна

, поэтому в течение следующих

лет наблюдатель в ракете получит от неподвижного сигналы за

лет. В итоге наблюдатель в ракете в течение своих

лет получит от неподвижного сигналы за

лет - именно столько, сколько должно быть по предыдущим вычислениям.
Что увидит пассажир ракеты, наблюдая вторую ракету (которая полетела вправо)? В течение первых

лет (до поворота) наблюдатель будет видеть, что вторая ракета удаляется от него со скоростью

, поэтому частота сигналов, приходящих с другой ракеты, равна

. Значит, наш наблюдатель получит от правой ракеты сигналы за

года (и
будет видеть правую ракету на расстоянии

светового года). Затем левая ракета поворачивает, и её пассажир будет видеть правую ракету на постоянном расстоянии от себя и получать от неё сигналы с частотой

в течение

года. Когда до финиша останется

года, он увидит, что вторая ракета, наконец, повернула и начала приближаться со скоростью

. При этом сигналы от правой ракеты будут приходить с частотой

, так что за оставшиеся

года их придёт как раз столько, сколько правой ракетой будет послано за

года. Таким образом, с точки зрения наблюдателя в левой ракете, за его

лет в правой ракете пройдёт

лет.
Исправление. По поводу зачёркнутых слов смотрите более
позднее сообщение.