Вычисление объема цилиндроида

[shelart]

Задача такая:
Переходя к полярным координатам, найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями:
$z=x+y$, $(x^2+y^2)^2=2xy$, $z=0$ ($x>0$, $y>0$).

$(x^2+y^2)^2=2xy$ - это, насколько я понимаю, что-то наподобие "восьмерки" в плоскости Oxy. Начал делать "в лоб":
$\begin{cases}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\end{cases}$
$(x^2+y^2)^2=2xy\Longrightarrow(r^2{\cos}^2\varphi+r^2{\sin}^2\varphi)^2=2r^2\cos\varphi\sin\varphi\Longrightarrow r^2=\sin{2\varphi}$
$\iint\limits_{\Omega}(x+y)dxdy = \iint\limits_{\Omega'}{r^2(\cos\varphi+\sin\varphi)}drd\varphi = \int\limits_{0}^{\frac\pi2}d\varphi\int\limits_{0}^{\sqrt{\sin{2\varphi}}}{r^2(\cos\varphi+\sin\varphi)dr} =\\ = \int\limits_{0}^{\frac\pi2}{(\cos\varphi+\sin\varphi)d\varphi}\int\limits_{0}^{\sqrt{\sin{2\varphi}}}{r^2dr} = \int\limits_{0}^{\frac\pi2}{(\cos\varphi+\sin\varphi)\frac{{(\sin{2\varphi})}^{\frac32}}3d\varphi}$
Собственно, проблема в вычислении этого интеграла. Смена пределов интегрирования тоже не особо помогает:
$2\int\limits_{0}^{1}dr\int\limits_{0}^{\frac{\arcsin{r^2}}2}{r^2(\cos\varphi+\sin\varphi)}d\varphi=\\ =2\int\limits_{0}^{1}r^2dr\int_{0}^{\frac{\arcsin{r^2}}2}{(\cos\varphi+\sin\varphi)}d\varphi=\\ =2\int\limits_{0}^{1}{(\sin\frac{\arcsin{r^2}}2-\cos\frac{\arcsin{r^2}}2)}dr$
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении нужно двигаться, чтобы решить эту задачу... Прошу прощения за, возможно, не совсем приличное оформление формул - я новичок на этом форуме.

[GAA]

Выкладки старательно не проверял, но пределы интегрирования по $\varphi$ расставлены неправильно. Проверьте. Если будут затруднения, приведите свои рассуждения, чтобы Вам помогли найти ошибку.
Относительно «этого» интеграла ($\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}{(\cos\varphi+\sin\varphi)\frac{{\sin^{\frac32}{2\varphi}}}3d\varphi}$). Можно разбить его на два; в одном сделайте замену $u=\sin \varphi$, во втором — $u=\cos \varphi$, и проверить, можно ли выполнить одну из замен для дифференциального бинома.

[GAA]

Я ошибся. С пределом интегрирования по $\varphi$, похоже, все верно. Предложение по способу вычисления интеграла, все остаётся в силе.

[shelart]

Не понимаю, где ошибка в пределах интегрирования по $\varphi$.

Это график $(x^2+y^2)^2=2xy$. При переходе к полярным координатам получаем уравнение $r^2=\sin{2\varphi}$ или, с учетом условия $x>0$, $y>0$, $r=\sqrt{\sin{2\varphi}}$. Таким образом, чтобы "покрыть" всю площадь, которую ограничивает данная кривая, необходимо "вращать" луч от $0$ до $\frac\pi2$, при этом его длина варьируется в пределах от $0$ до $\sqrt{\sin{2\varphi}}$. Подскажите, пожалуйста, в чем именно я не прав?
UPD: Пардон, пока писал, вы уже ответили на мой вопрос :) Не освоился пока с $T_{E}X$...

[shelart]

$\int{\cos\varphi\sin^\frac32{2\varphi}}d\varphi=\frac{2\sqrt2}3\int{\cos^\frac52\varphi\sin^\frac32\varphi}d\varphi=\{u=\sin\varphi\Longrightarrow du=\cos\varphi d\varphi\Longrightarrow d\varphi=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\}=\frac{2\sqrt2}3\int{(\sqrt{1-u^2})^\frac52u^\frac32\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}}=\frac{2\sqrt2}3\int(1-u^2)^\frac34u^\frac32du$
Если верить Википедии, то получившийся интеграл выражается в элементарных функциях, так как $p+\frac{m+1}n=\frac34+\frac{\frac32+1}{2}=\frac34+\frac54=2\in\mathbb{Z}$. Но вот как именно его выразить (может, замену какую или по частям)...

[GAA]

Для каждого из трех случаев имеется замена. Эти замены приводятся в учебниках или сборниках задач, см. например, [1, n.279], [2, Отдел III Неопределенный интеграл, §3 Интегрирование некоторых иррациональных функций]. Интеграл проще стразу вычислять определенный.

(Да, не понятно, откуда взялась тройка в знаменателе.)

[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1964 (djvu)

UPD: Загадка с 1/3 разгадана: она пропущена в первом интеграле в предыдущем сообщении.