Метод множителей Лагранжа

[Nogin Anton]

Здравствуйте, Все, и с наступившим Новым Годом!
Нужно найти максимум функции методом неопределённых множителей Лагранжа.

$f(x)=x_1^2-(x_2+3)^2\to max$

Условия:
1) $x_1 \le x_2$
2) $x_1^2+4x_2\ge 4$
3) $x_1^2+x_2^2 \le 5$

Функция Лагранжа:
$F(x)=x_1^2-(x_2+3)^2 +(x_1-x_2)\lambda_1 +(x_1^2+4x_2-4)\lambda_2 +(5-x_1^2-x_2^2)\lambda_3$

1. $F'_{x_1}(x)=2x_1+\lambda_1+2\lambda_2x_1-2\lambda_3x_1=0$
2. $F'_{x_2}(x)=-2(x_2+3)-\lambda_1+4\lambda_2-2\lambda_3x_2=0$
3. $F'_{\lambda_1}(x)=x_1-x_2=0$
4. $F'_{\lambda_2}(x)=x_1^2+4x_2-4=0$
5. $F'_{\lambda_3}(x)=5-x_1^2-x_2^2=0$

У меня такое подозрение, что условного экстремума нет.. Из уравнения (3) можно сделать вывод, что $x_1=x_2$. Зная значения иксов и подставив их в (1) и (2), получим систему из двух уравнений и трёх неизвестных..

В чём я не прав?

[SpBTimes]

Так вы систему решите и поймёте

[bot]

А при чём здесь множители Лагранжа? Область лежит внутри круга выше прямой и параболы - серпик такой получается. Во внутренних точках очевидно нет ни максимума ни минимума (так есть куда сдвинутся с уменьшением и с возрастанием целевой функции), остаётся граница, а она кусочно заданная ... Там тоже мало чего остаётся - всего три точки, из которых выбирать.

А Ваша функция Лагранжа вообще работать не будет - не бывает, чтобы все три ограничения выполнялись одновременно.

[Nogin Anton]

Так получается, что я неверно функцию Лагранжа составил? Вроде всё учёл..

SpBTimes, по-моему, система не имеет решений.. $x_1$ и $x_2$ находятся из последних уравнений. А лямды только в первых двух уравнениях. Получается система из двух уравнений и трёх неизвестных..

[bot]

Функция Лагранжа здесь вообще не к месту, а в таком виде как у Вас тем более.

[Nimza]

Nogin Anton в сообщении #522479 писал(а):

В чём я не прав?

Не нужно брать производные по лямбдам. Вместо этого есть правило дополняющей нежёсткости.

bot в сообщении #522548 писал(а):

А Ваша функция Лагранжа вообще работать не будет

А что не так с функцией Лагранжа? Лично мне представлять область намного сложнее (тем более в общих случаях это невозможно), чем в лоб использовать функцию Лагранжа.

[bot]

Nimza в сообщении #522580 писал(а):

А что не так с функцией Лагранжа?

Одно условие даёт кривую, две кривые дают точку, три кривые вообще говоря в одной точке не пересекаются.
На каждом из трёх участков границы функция Лагранжа (если приспичит её использовать) будет своя - формально все лямбды нулевые, кроме одной.
Здесь максимум и минимум достигаются на границе, то есть на одном из трёх участков - круговом, параболическом или прямолинейном. На каждом из них нет нужды в функциях Лагранжа - всё очевидно без вычислений и надо лишь сравнить значения в трёх точках.

[Nimza]

bot в сообщении #522592 писал(а):

формально все лямбды нулевые, кроме одной.

Это да... но мы же это можем получить без геометрических соображений только из условий доп. нежесткости.

bot в сообщении #522592 писал(а):

Одно условие даёт кривую, две кривые дают точку, три кривые вообще говоря в одной точке не пересекаются.

Так там же неравенства стоят, то есть каждое условие задаёт двумерный кусок плоскости.

bot,
а как бы Вы действовали, если бы это была задача с теми же по типу ограничениями и функционалом (линейно-квадратичными) но в произвольном гильбертовом пространстве?

[мат-ламер]

По поводу задачи с первого поста. Допустимое множество естественно разбивается на семь частей. Внутренность, три граничные кривые и три угловые точки. На каждой из семи частей можно исследовать отдельно. На внутренности функция Лагранжа ни к чему. На граничной кривой считаем, что работает одно ограничение. В угловых точках нужно посчитать только значение функции. Потом всё свести вместе. Что касается методов оптимизации в гильбертовом пространстве, то вопрос конечно интересный.

[Nogin Anton]

Суть в том, что задачу нужно решить методом множителей Лагранжа.

Я пользовался алгоритмом из википедии

Во втором пункте брал частные производные по иксам и лямбдам. И никак не могу решить полученную систему уравнений.. Наверное, либо я Вас неверно понял, либо что-то не правильно объяснил.)

[bot]

Nimza в сообщении #522603 писал(а):

Так там же неравенства стоят

Неравенства дают область, в которой очевидно нет ничего интересного, остаётся граница, она задаётся кусочно - каждый кусок своим равенством.

мат-ламер в сообщении #522651 писал(а):

Допустимое множество естественно разбивается на семь частей

Не понял, зачем - граница состоит из трёх частей, в каждой части после сведения к одной переменной очевидно, что крайние значения на концах, то есть в итоге надо сравнить значения в трёх точках.

[мат-ламер]

Nogin Anton Та статья в Википедии к Вашей задаче не относится.
bot

bot в сообщении #522669 писал(а):

Не понял, зачем - граница состоит из трёх частей, в каждой части после сведения к одной переменной очевидно, что крайние значения на концах, то есть в итоге надо сравнить значения в трёх точках.

Но это я написал для общего случая, когда неочевидно, что крайние значения на концах. (Лично мне неочевидно и для данного случая, но я внимательно не смотрел). Да и просили через функцию Лагранжа.

[Nogin Anton]

мат-ламер
не пойму - почему не относится? Нахождение экстремума функции и там и здесь. Ограничения и там и здесь..

[Nimza]

Nogin Anton в сообщении #522666 писал(а):

Суть в том, что задачу нужно решить методом множителей Лагранжа.

А Вы мой ответ прочитали? Там всё механически делается через функцию Лагранжа. Думать совсем не надо и не надо даже представлять себе, что из себя представляет множество, задаваемое ограничениями.

[мат-ламер]

Nogin Anton в сообщении #522681 писал(а):

Ограничения и там и здесь..

Однако есть отличие в виде ограничений. Попробуйте сами найти разницу.