Подпоследовательность. Задача на доказательство

[Null]

Проще переделать первое решение. Зачем вам подпоследовательность в которой каждый элемент больше своего номера в исходной последовательности? Вы слишком много требуете и поэтому у вас не получается.

[Sledovatel]

Да я знаю, что это слишком сильное требование, но другое я не могу придумать.

[bot]

А не начать ли сначала? Вот последоательность сверху не ограничена. Берём число 1 - оно не годится в качестве верхней границы, следовательно найдётся ...

[Sledovatel]

Следовательно, найдётся член последовательности, больший единицы.
Значит, заменить $n_k$ в исходном решении на $\epsilon$ - произвольное положительное число?

[bot]

А не торопитесь

Sledovatel в сообщении #522312 писал(а):

найдётся член последовательности, больший единицы

Какой у него будет номер?

[Sledovatel]

Первый.
Т.е. привязать к натуральным числам?

Последовательность $(x_n)$ - не ограниченная сверху, тогда для любого натурального числа $k$ найдётся член последовательности $x_{n_k}$ такой, что $x_{n_k} > k$. Последовательность, составленная из таких чисел будет искомой подпоследовательностью, стремящейся к $+oo$.

А вот то, что +бесконечность - предел этой подпоследовательности, опять не доказано.

[Null]

Этот способ работает, напишите определение последовательности стремящейся к бесонечности.

[Sledovatel]

(пытался разобраться, как пишутся пределы в TeX - не разобрался)
для любого $\epsilon > 0$ найдётся номер $n_k$ такой, что $x_{n_k} > \epsilon$
Только как это применить к доказательству?

-- Пн янв 02, 2012 18:49:35 --

Надо найти какую-то зависимость между эпсилон и к?
Опять что-то тупиковое.

-- Пн янв 02, 2012 18:55:48 --

Подскажите, пожалуйста, может, ещё есть какой способ?

-- Пн янв 02, 2012 19:04:21 --

А, кажется, понял. Большего любого числа ($\epsilon$) найдётся некоторое натуральное число, а больше любого натурального числа найдётся член последовательности. Значит, предел равен +беск.

Правильно?

[Null]

У вас определение неправильное.

[Sledovatel]

Точно, упустил один момент.
Для любого $\epsilon > 0$ найдётся номер $n_k$ такой, что для любого номера $s > n_k$ выполняется $x_s > \epsilon$.

-- Пн янв 02, 2012 19:21:59 --

А дальше как раз применить то, что неравенство $x_s > \epsilon$ доказать тем, что существует такое натуральное число, что $x_s > s > \epsilon$?
Или я опять ошибаюсь?

[Sledovatel]

В общем, выяснилось, что у меня неверно.
После долгих копаний в учебниках таки нашёл решение в Ильине-Позняке (стр. 86 изд. 2004, Физматлит).
Хотел выложить скриншот, но, очевидно, картинки нельзя загружать.

[ewert]

Здесь ключевой момент в том, что если уж последовательность вообще неограниченна, то она неограниченна и начиная с любого номера (поскольку до этого номера она уж всяко чем-то, да ограничена).

Тогда подпоследовательность строится очевидным образом. Берётся $n_1$ такой, что $x_{n_1}>1$. Затем (поскольку за $n_1$ последовательность по-прежнему неограниченна) берётся $n_2>n_1$ такой, что $x_{n_2}>2$. Затем -- $n_3>n_2$ такой, что $x_{n_3}>3$. И т.д.

[Sledovatel]

Всем спасибо за помощь.