Что нужно, чтобы доказать, что функция сходится к Дельт.Ф-ии

[Morkonwen]

Скажите пожалуйста. Насколько я понимаю для того чтобы при $ \epsilon\rightarrow 0$ было $f(x,\epsilon) \rightarrow \delta (x)$ достаточно чтобы $f(x_0,\epsilon) \rightarrow 0 $ при $x_0\neq0$ $f(0,\epsilon) \rightarrow \infty $ и, самое главное, что бы $\int_{-\infty}^\infty f(x,\epsilon) =1$ то есть правая часть не зависела от $ \epsilon$. Например это будет так для $f(x,\epsilon) =\frac{\epsilon}{2 \pi(x^2+\epsilon^2)}$. Достаточно ли показать все вышеперечисленное чтобы функция была дельта функцией? Я спрашиваю поскольку для двумерной функции$ f(x,y,\epsilon)=\frac{\epsilon}{2 \pi \sqrt{x^2+y^2+\epsilon^2}^3}$ все вышеуказанное выполняеться, стало быть она будет двумерной дельта функцией $f(x,y,\epsilon) \rightarrow \delta (x) \, \delta (y)$?

[Morkonwen]

Будет ли достаточно если$\int_{-\infty}^\infty f(x,\varepsilon) =1$ заменить на $\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^\infty f(x,\varepsilon) \rightarrow 1$??

[svv]

— Morkonwen, скажите, пожалуйста, Вам свойства дельта-функции, на которые Вы опираетесь, или которых Вы от неё ожидаете, известны из какой книги -- физической или математической?
— Из физической. Это ... (такая-то книга).
— Вот потому математики и молчат.

[Morkonwen]

Да мне просто нужно узнать какие должны быть свойства у семейства, что бы в пределе оно давало дельта функцию. И хватит ли этих свойств. Какое отношение к физике то=)?

[Nimza]

Дельта-функция --- функционал. Поэтому имеет смысл говорить о сходимости к ней последовательностей функционалов (т.н. дельтаобразные последовательности). То, что понимать под сходимостью, зависит от того, каким функционалом Вы считаете дельта-функцию, то есть от того, какая у неё предполагается область определения. Чаще всего считают дельта-функцию распределением, то есть непрерывным функционалом над $\mathcal{D}$. Тогда говорят, что $f_n \to \delta$, если $\langle f_n, \varphi \rangle \to \langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$ для всех $\varphi \in \mathcal{D}$. Посмотрите, например, Л. Шварца "Математические методы для физических наук".

[MaximVD]

Morkonwen в сообщении #522466 писал(а):

Да мне просто нужно узнать какие должны быть свойства у семейства, что бы в пределе оно давало дельта функцию.

Например, достаточно таких свойств: Пусть последовательность $f_n \in \mathcal{D}$ такова, что $f_n = 0$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $\int_{\mathbb{R}} f_n(x) \, dt = 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Тогда $f_n$ сходится к $\delta$-функции в указанном Nimza смысле.

[drug39]

На самом деле двумерная дельта-функция $\delta_2(x,y)$ вводится так:
$\delta_2(x,y)=0$ при $x\ne 0, y\ne 0$;
$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_2(x,y)dxdy=1$.
А отсюда уже
$\delta_2(x,y)=\delta (x) \, \delta (y)$.
В полярных координатах:
$\delta_2(\rho,\varphi)=0$ при $\rho\ne 0$;
$\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}\delta_2(\rho,\varphi) d\rho \rho d\varphi=1$.
Если $\delta_2(\rho,\varphi)$ не зависет от $\varphi$, то
$\int_0^{\infty}\delta_2(\rho) \pi d\rho^2=1$ или
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta_2(\sqrt{|\rho|}) \frac \pi 2 d\rho=1$.

[RIP]

MaximVD в сообщении #522672 писал(а):

Morkonwen в сообщении #522466 писал(а):

Да мне просто нужно узнать какие должны быть свойства у семейства, что бы в пределе оно давало дельта функцию.

Например, достаточно таких свойств: Пусть последовательность $f_n \in \mathcal{D}$ такова, что $f_n = 0$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $\int_{\mathbb{R}} f_n(x) \, dt = 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Тогда $f_n$ сходится к $\delta$-функции в указанном Nimza смысле.

Этого недостаточно. Надо ещё потребовать неотрицательность или хотя бы $\sup_n\int_{\mathbb R}|f_n(x)|\,\mathrm dx<\infty$. А вот основные функции $\mathcal D$ здесь совершенно не при чём (наверное, имелись в виду суммируемые?).

[sergei1961]

Например, можно доказать что последовательность преобразований Фурье сходится к единице. Без всякой мистики.

[Oleg Zubelevich]

RIP в сообщении #523207 писал(а):

наверное, имелись в виду суммируемые?

а как Вы собираетесь определять значение суммируемой функции в точке?

[RIP]

Oleg Zubelevich в сообщении #523370 писал(а):

RIP в сообщении #523207 писал(а):

наверное, имелись в виду суммируемые?

а как Вы собираетесь определять значение суммируемой функции в точке?

а зачем? $f_n$ задают (регулярные) обобщённые функции.
Upd. Кажись, я понял, к чему Вы спросили. Мой комментарий относился к условию $f_n\in\mathcal D$.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #523370 писал(а):

а как Вы собираетесь определять значение суммируемой функции в точке?

Речь шла о последовательности не пробных функций, а функционалов.

[MaximVD]

RIP в сообщении #523207 писал(а):

Этого недостаточно. Надо ещё потребовать неотрицательность

Да, вы правы, про неотрицательность я забыл упомянуть. Прошу прощение за невнимательность.

[Oleg Zubelevich]

да, увидел

[Morkonwen]

MaximVD в сообщении #522672 писал(а):

Например, достаточно таких свойств: Пусть последовательность $f_n \in \mathcal{D}$ такова, что $f_n = 0$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $\int_{\mathbb{R}} f_n(x) \, dt = 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Тогда $f_n$ сходится к $\delta$-функции в указанном Nimza смысле.

А если речь идет о семействе функций как в первом посте то есть неравных нулю на всем отрезке ? Можно их как то преобразовать?