Ряд с двойными факториалами

[resevus]

Как доказать?

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!n^2}=\frac{\pi^2}{2}$$

[reestr]

это двойной факториал или четный/нечетный?

[Sonic86]

reestr в сообщении #521997 писал(а):

это двойной факториал или четный/нечетный?

$$ (2n)!!=2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n $$

$$ (2n-1)!!=1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1) $$

[phys]

Sonic86 в сообщении #522002 писал(а):

reestr в сообщении #521997 писал(а):

это двойной факториал или четный/нечетный?

$$ (2n)!!=2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n $$

$$ (2n-1)!!=1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1) $$

Тогда что такое $(2n)!$ и $(2n-1)!$?

[Sonic86]

phys в сообщении #522067 писал(а):

Тогда что такое $(2n)!$ и $(2n-1)!$?

$(2n)!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2n$
$(2n-1)!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)$

Это не я такое обозначение придумывал для произведения четных и нечетных, все вопросы не ко мне

[Carden]

Г.М.Фихтенгольц, Курс Д.и И. исчисления, т.2.

[Sonic86]

Carden в сообщении #522262 писал(а):

:arrow: Г.М.Фихтенгольц, Курс Д.и И. исчисления, т.2.

А точнее не подскажете?

[Carden]

Sonic86 в сообщении #522324 писал(а):

А точнее не подскажете?

Фихтенгольц Г.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.; т.2 - с.461.

[KaHDal]

есть новое издание Фихтенгольца ? о-О

[cool.phenon]

Есть половина решения,но я не уверен,так как сходимости этих рядов в единице сомнительные
Пусть $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!}}\frac{{{x}^{4n}}}{{{n}^{2}}}$ .
Тогда $f'(x)=4\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!}}\frac{{{x}^{4n-1}}}{n}$
$xf'(x)=4\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!}}\frac{{{x}^{4n}}}{n}$
$\left( xf'(x) \right)'=16\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!}}\frac{{{x}^{4n-1}}}{1}$
$x\left( xf'(x) \right)'=16\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n \right)!!{{x}^{4n}}}{\left( 2n-1 \right)!!}}$
Есть разложение
$\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n \right)!!{{x}^{4n}}}{\left( 2n-1 \right)!!}}$. Тогда получаем диф.уравнение Эйлера


$ {{x}^{2}}f''(x)+xf'(x)=16\left( \frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}-1 \right) \\ f''(t)=16\left( \frac{1}{\sqrt{1-{{e}^{4t}}}}-1 \right) \\ f(t)=\int{dt\int{16\left( \frac{1}{\sqrt{1-{{e}^{4t}}}}-1 \right)dt}} \\ $


Функцию находим двумя интегрированиями. Вот только начальных условий нету. Их можно получить,подставляя разные иксы во временные преобразования.
Тогда,когда найдём функцию,просто подставляем 1. Поправьте меня,если что-то не верно