Жаутыковская олимпиада 2007 (помогите разобраться)

[NIW]

$ ABCD $ выпуклый четырехугольник, такой что $ \angle BAC=\angle DAC $. $ M $ - точка внутри него, причем $ \angle MBA=\angle MCD $ и $ \angle MBC=\angle MDC $. Докажите, что $ \angle ADC $ равен $ \angle BMC $ или $ \angle AMB $.
Мое решение:
Пусть $ X $ - вторая точка пересечения описаной окружности треугольника $ MDC $ с отрезком AD ($ X $ совпадает с $ D $ только в случае касания окружности и прямой $ AD $ ). Тогда $ \angle MXC=\angle MDC=\angle MBC $, $ \angle MXA=\angle MBA $. Значит, $ \triangle AXC= \triangle ABC $. Так как $ \triangle XCB $ равнобедренный и \angle MXC=\angle MBC $, $ \angle MXB=\angle MBX $;
т. е. $ M $ принадлежит серединному перпендикуляру отрезка $ XB $, а значит принадлежит $ AC $. Случай пересечения окружности с прямой $ AD $ вне отрезка аналогичен.
Легким подсчетом углов получаем, что $ \angle AMB= \angle ADC $.
Я не понимаю откуда берется случай $ \angle BMC= \angle ADC $. Пожалуйста помогите разобраться.

[BVR]

Пары углов, о которых говорится в условии ведь не равны между собой. Поэтому $ \angle ADC $ равен либо одному, либо другому. Попробуйте поменять местами буквы $B$ и $D$ в обозначении исходного четырехугольника.