Витебское неравенство

[Lunatik]

На олимпиаде при каком-то университете (вроде в Витебске) предлагали следующее неравенство:
Доказать, что если верно соотношение $abc=1$, то верно неравенство:
$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geqslant a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Я вот либо торможу, либо что, просто там все задачки такой посредственной сложности, минут за 15 решаются, а здесь застопорился... Может кто мне импент даст...

[arqady]

Lunatik в сообщении #521794 писал(а):

Доказать, что если верно соотношение $abc=1$, то верно неравенство:
$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geqslant a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ваше неравенство очевидно неверно. Может, Вы хотели сказать, что $a$, $b$ и $c$ положительны?
Для положительных же переменных AM-GM помогает.

[Lunatik]

arqady, да да, именно для положительных...

Я честно говоря только AM-GM и пытался делать... но вот чего-то не получилось... Можете подсказочку дать?

[Dave]

Не знаю, что такое импент, но могу предложить вот что :
Берём известное неравенство $a+\frac 1 a \geqslant 2$, справедливое для любого положительного $a$, и умножаем на (опять же положительное, благодаря замечанию arqady!) выражение $\left(\frac 1 b + c\right)$. Получаем: $\frac a b + ac + \frac 1 {ab} + \frac c a \geqslant 2(\frac 1 b + c)$. Ввиду того, что $abc=1$, $ac+ \frac 1 {ab} = \frac 1 b + c$ и неравенство переписывается так: $\frac a b + \frac c a \geqslant \frac 1 b + c$. Циклически переставляя переменные, получаем: $\frac b c + \frac a b \geqslant \frac 1 c + a$ и $\frac c a + \frac b c \geqslant \frac 1 a + b$. Что делать дальше, думаю поймёшь.

[Lunatik]

Dave, так либо я ошибся, либо вы, потому что $\frac{a}{b} + \frac{c}{a} \geqslant \frac{1}{b}+c$ у меня выполнялась не всегда...
_______
Блин, ну конечно я ошибся, вы абсолютно правы! Спасибо за помощь!

----
Да, кстати, импент - это толчок... на всякий случай

[arqady]

Dave, Вы, конечно, имеете в виду $\sum\limits_{cyc}\left(\frac a b + ac + \frac 1 {ab} + \frac c a \right)\geqslant \sum\limits_{cyc}2(\frac 1 b + c)\Leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{a} \right)\geqslant\sum\limits_{cyc}\left( \frac{1}{b}+c\right)$.
Можно ещё двумя такими AM-GM воспользоваться:
$\frac{a}{b}+\frac{2b}{c}\geq\frac{3}{c}$ и $\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3a$.

[Lunatik]

Ну если хотите, можно с того же огорода (ну это так, задачки устные для arqady, не тяжелее предыдущего (в предыдущем я просто затормозил по-конкретному)):

Доказать что для положительных $a,b,c$, сумма которых единица верно неравенство:
$\frac{a^3}{a^2+4b^2}+\frac{b^3}{b^2+4c^2}+\frac{c^3}{c^2+4a^2}\geqslant \frac{1}{5}$

[arqady]

Следующее неравенство повеселее будет.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$$

[Dave]

Lunatik в сообщении #521943 писал(а):

Доказать что для положительных $a,b,c$, сумма которых единица верно неравенство:
$\frac{a^3}{a^2+4b^2}+\frac{b^3}{b^2+4c^2}+\frac{c^3}{c^2+4a^2}\geqslant \frac{1}{5}$

Берём очевидное неравенство для положительных чисел: $(a-b)^2(3a+8b) \geqslant 0$. Раскрывая скобки и проводя другие преобразования, получаем:

$$(a^2-2ab+b^2)(3a+8b) \geqslant 0 \; \Rightarrow \; 3a^3-6a^2b+3ab^2+8a^2b-16ab^2+8b^3 \geqslant 0 \; \Rightarrow \; 3a^3+2a^2b-13ab^2+8b^3 \geqslant 0 \; \Rightarrow \;$$

$$ \; \Rightarrow \; 12a^3+8a^2b-52ab^2+32b^3 \geqslant 0 \; \Rightarrow \; 25a^3 \geqslant 13a^3-8a^2b+52ab^2-32b^3 \; \Rightarrow \; 25a^3 \geqslant (13a-8b)(a^2+4b^2) \; \Rightarrow \; $$

$$\; \Rightarrow \; \frac {a^3} {a^2+4b^2} \geqslant \frac {13a-8b} {25}.$$

Циклической перестановкой переменных получаем также:

$$\frac {b^3} {b^2+4c^2} \geqslant \frac {13b-8c} {25} \quad \text{и} \quad \frac {c^3} {c^2+4a^2} \geqslant \frac {13c-8a} {25}.$$

Остаётся только сложить эти неравенства и учесть, что $a+b+c=1$.

[hippie]

Ещё одно доказательство исходного неравенства.

Поскольку a, b, c > 0, и abc=1, то найдутся такие (положительные) x, y и z, что a=x/y; b=y/z; c=z/x.
Таким образом, исходное неравенство переписывается в виде:
2(xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2) >= x/y + y/z + z/x + x/z + z/y + y/x,
а это неравенство Мюрхеда (набор (1; 1; –2) мажорирует набор (1; 0; –1)).