Найти спектр оператора в l_2(Z)

[raiym]

Найти спектр в $l_2(\mathbb{Z})$ оператора $(Ax)_n=x_{n-1}-2x_n+x_{n+1}$.
Спасибо всем, кто откликнется.

[ewert]

Оператор симметричен (т.к. его матрица симметрична) и очевидно ограничен, поэтому он самосопряжён. Следовательно, его спектр вещественен. Уравнение на вещественные собственные числа: $x_{n-1}-2x_n+x_{n+1}=\lambda\,x_n$. Соотв. характеристическое уравнение: $q^2-(2-\lambda)q+1=0$. Его решения $q_1,q_2$ либо либо оба вещественны, либо комплексно сопряжены друг другу. В любом случае фундаментальные решения $x_n=q_1^n$ и $y_n=q_2^n$ (или $y_n=n\cdot q_1^n$ в случае кратного корня) не принадлежат $l_2$, так что собственных чисел, т.е. точечного спектра, нет. Зато вполне есть спектр непрерывный.

Он получится, когда корни комплексные. Тогда они оба по модулю равны единице, т.е. фундаментальные решения оба не растут и не убывают. Это будет то, что принято на жаргоне называть "собственными векторами непрерывного спектра". Причина: если навесить на эти осциллирующие решения по всё более и более медленно убывающему при $|n|\to\infty$ амплитудному множителю, то получится последовательность векторов, на которой $\dfrac{\|A\vec x-\lambda\vec x\|}{\|\vec x\|}$ будет стремится к нулю; это и есть критерий принадлежности к непрерывному спектру (который, кстати, окажется двукратным, если интересует ещё и его кратность).

Если корни вещественные и разные, то один из них по модулю больше единицы, второй меньше. Т.е. одно фундаментальное решение экспоненциально растёт, другое экспоненциально убывает; из них нетрудно стандартным способом склеить резольвенту, и она окажется ограниченной. Так что такие $\lambda$ спектру не принадлежат.

Впрочем, разумнее с самого начала сдвинуть оператор на двойку, т.е. выкинуть из него центральное слагаемое. Тогда последний пункт станет вообще тривиальным: регулярность соотв. точек сразу же будет следовать из очевидной и грубой оценки для нормы оператора.

[svv]

ewert, а Вы обратили внимание на $(\mathbb{Z})$ ?

[ewert]

svv в сообщении #521677 писал(а):

ewert, а Вы обратили внимание на $(\mathbb{Z})$ ?

Естественно.

Дело в том, что там стоит вторая конечноразностная производная по всей оси. Естественно было бы предположить, что и свойства этого оператора имеют некую аналогию со свойствами оператора чистого двукратного дифференцирования, и по аналогичным схемам и анализируются. Ну так так и выходит.