Общий вид линейного функционала в $C^1,C^2,C^k$

[sergei1961]

Подскажите, где посмотреть теоремы об общем виде линейного функционала в $C^1,C^2,C^k$?
Наверное, результаты разные на отрезке, на оси в одномерном случае, во всём пространстве и в области в многомерном? Есть такие обобщения теоремы Рисса-Маркова для $C$?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $C^1_0[0,1]=\{u\in C^1[0,1]\mid u(0)=0\}$ тогда
$A=\frac{d}{dx}:C_0^1[0,1]\to C[0,1]$ -- изоморфизм, следовательно
$A':(C[0,1])'\to(C_0^1[0,1])'$ -- отображение "на"


таким образом общий вид непрерывного линейного функционала на $C^1[0,1]$ следующий:
$C^1[0,1]\ni f\mapsto(\psi,Af)+\lambda f(0)$, где $\psi\in (C[0,1])'$, а $\lambda$ -- действительное число.

[sergei1961]

Подобное можно где-то почитать, аккуратно записанное?

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Всякий непрерывный линейный функционал на $C^n[-1,1]$ имеет вид

$$\psi\circ\frac{d^n}{dx^n}+\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\delta^{(i)}(0),\quad \psi\in(C[-1,1])'$$

где $\lambda_i$ -- числа, $\delta^{(i)}$ -- производные $\delta-$функции.

Доказательство.
Обозначим $C_0=\{f(x)\in C^n[-1,1]\mid f(0)=f'(0)=\ldots =f^{(n-1)}(0)=0\}$ -- банахово пространство относительно $C^n[-1,1]$- нормы.
Рассмотрим оператор
$A=\frac{d^n}{dx^n}:C_0\to C[-1,1]$ это изоморфизм, следовательно [Эдвардс, Функциональный анализ] оператор $A':(C[-1,1])'\to C'_0$ является отображением "на".

Пусть $\eta\in (C^n[-1,1])'$ тогда

$$(\eta,f)=\Big(\eta,f(x)-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\Big)+\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}(\eta,x^i)$$

Первое слагаемое в правой части этой формулы можно трактовать как линейный функционал на $C_0$ т.е.

$$\Big(\eta,f(x)-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\Big)=\Big(\tilde\eta,f(x)-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\Big),\quad \tilde\eta=\eta\mid_{C_0}\in C'_0$$

Однако, в силу высказанного замечания, найдется $\psi\in (C[-1,1])'$ такой, что $A'\psi=\tilde\eta$
Таким образом,

$$\Big(A'\psi,f(x)-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\Big)=\Big(\psi,\frac{d^n}{dx^n}f\Big)$$

И остается положить $\lambda_i=\frac{1}{i!}(\eta,x^i)$.
ЧТД

[sergei1961]

Спасибо.