Дифференциальное уравнение

[GaiL]

Который час бьюсь над уравнением (

$$x^2y^2y' + yx^3=1$$

)
Применял методы решения как однородных диф.ур, так и уравнений Бернулли. В итоге все сводится к очень громоздким и бесполезным вычислениям=( Пожалуйста, помогите

[svv]

А может, оно и не решается в элементарных функциях? Выглядит ведь даже сложнее, чем Риккати, которое само далеко не всегда решается.

[GaiL]

А как показать, что оно не решается в элементарных функциях?

[svv]

Во-первых, я все-таки не знаю, решается или нет. У меня критерий простой: за несколько дней никто ничего не посоветовал -- значит, дела плохи.

Общего метода, наверное, нет, и вообще, это задача для специалистов.
Неразрешимость в элементарных функциях давно доказана для некоторых типов уравнений (например, некоторые случаи уравнения Риккати).
Можно предполагать, что если уравнение выглядит как усложнение и без того неразрешимого типа, то... сами понимаете.
С другой стороны, всегда есть шанс, что суперсложное уравнение неожиданно имеет относительно простое решение (возьмите какое-нибудь элементарное выражение, найдите несколько его производных и основательно запутайте всё это в единое уравнение).

Вы искали Ваше уравнение в справочнике Камке? Прежде чем отчаиваться, надо там посмотреть.

Кстати, а откуда Ваше уравнение взялось?

[GaiL]

Сходил, показал преподавателю, вот, мол, не могу решить. Посидел он минуть пять, посмотрел на уравнение (вдумчиво так, со всей серьезностью), взял ручку и исправил на

$$x^2 y^2y'+y^3x = 1$$

P.S. Спасибо большое за ответ

[svv]

Ёлы, это ж меняет дело: $y^2 y'=\frac 1 3(y^3)'$, т.е.нужна подстановка $z=y^3$.

Однако оперативно Вы сходили к преподавателю!

[GaiL]

Прелести второй смены и конца семестра=) Преподов можно до глубокого вечера отлавливать, тем более если живешь в пяти минутах ходьбы от ВУЗа.
Ну а это уравнение я и сам сделал без проблем.
Еще раз спасибо