Разложить в ряд Лорана

[NatNiM]

Помогите, пожалуйста. Необходимо разложить в ряд Лорана в окрестностности точки z=-1.
$ \[ f\left( x \right) = \frac{1} {{\sqrt[3]{{z^3 + 3z^2 + 3z + 2}}}} \] $
Удалось только знаменатель привести к виду:
$\[ \sqrt[3]{{\left( {z + 2} \right)\left( {z^2 + z + 1} \right)}} \] $
Как дальше можно преобразовать дробь?

[Sonic86]

$z^2+z+1$ разложите на множители, мы же в $\mathbb{C}$ Дальше хоть понятно...

[NatNiM]

Ну тогда вот так:
$\[ \sqrt[3]{{\left( {z + 2} \right)\left( {z + \frac{{\sqrt { - 3i} - 1}} {2}} \right)\left( {z + \frac{{1 + \sqrt { - 3i} }} {2}} \right)}} \] $
А дальше все равно не ясно. Не сталкивалась, когда в знаменателе корень третьей степени.

[Sonic86]

Разлагать $(1+z)^{\alpha}$ в ряд умеете? Вот и воспользуйтесь.
Там только при перемножении некрасиво будет.

-- Чт дек 29, 2011 07:17:04 --

NatNiM в сообщении #521249 писал(а):

Ну тогда вот так:
$\[ \sqrt[3]{{\left( {z + 2} \right)\left( {z + \frac{{\sqrt { - 3i} - 1}} {2}} \right)\left( {z + \frac{{1 + \sqrt { - 3i} }} {2}} \right)}} \] $

Либо $i$ пишите, либо $\sqrt{-3}$ (лучше первое).

[NatNiM]

Да, поняла.
Спасибо большое за помощь!

[ewert]

Да не надо никаких разложений. Там же стоит тупо $\big(1+(z+1)\big)^{-\frac13}$. Вот по стандартному ряду Тейлора для $(1+t)^{\alpha}$ в окрестности нуля и раскладывайте.

(и никакой там не Лоран выйдет; в смысле лишь формально Лоран)

[Sonic86]

Мда, а я на исходный знаменатель не посмотрел

[Ilyazh]

Подскажите пожалуйста. Что делать в такой ситуации?
Есть функция $f(z) = \frac {1} {z(1-z)}$
Необходимо разложить её в ряд Лорана в кольце $0<|z-1|<1$
Я разбил функцию на простые дроби и получил следующее $\frac {1} {z} + \frac {-1} {z-1}$
Первую дробь я разложил как сумму убывающей геометрической прогрессии $\frac {1} {z}=\frac {1} {1+(z-1)}=$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(z-1)^n$$
Но вот разложить вторую дробь никак не могу. Получается это дробь вида $\frac {1} {|z|}$, где $|z|<1$ Что можете посоветовать?

[Ilyazh]

И второй вопрос. Если я знаю, что $\frac {2} {|z|} < 1$, то могу ли я представить функцию $\frac {1} {z-1}$ суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?? Ведь в данном случае $\frac {1} {|z|} = |q|$ и получается, что $|q|<\frac {1} {2}$ т.е. условие $|q|<1$ выполняется.

Извините, если я откровенно туплю. замучался просто уже и устал, поэтому могу тупить.

[Dan B-Yallay]

Вторую дробь раскладывать не надо. Просто прибавить к первому ряду и собрать с подобным.