Биекция между 2^R и N^R в явном виде

[reestr]

Описать биекцию в явном виде между $ 2^\mathbb{R} $ и $\mathbb{N}^\mathbb{R}$.
Немного непонятно, как можно задать в явном виде биективное отображение между множеством отображений.
Пытался придумать некую композицию функций, но не выходит. Если в какой-нибудь литературе разбирается подобное, буду рад, если подскажите.

[spyphy]

reestr в сообщении #521118 писал(а):

Немного непонятно, как можно задать в явном виде биективное отображение между множеством отображений.

написать словесно какие отображения мы считаем "изоморфными" и делов то.

только я запамятал что значит запись $\mathbb{N}^\mathbb{R}$...

[reestr]

spyphy в сообщении #521194 писал(а):

только я запамятал что значит запись $\mathbb{N}^\mathbb{R}$...

Множество отображений из множества вещественных чисел в множество натуральных.
Насколько я понимаю, изоморфизм можно построить, когда имеется явная структура во множествах, вопрос в том как каждому отображению задать биективно другое отображение.

[Nimza]

Разбейте $\mathbb{R}$ на множества $[k,k+1)$ и перенумеруйте их как-нибудь. Отождествим точки $x \sim x+1$ и зададим в точке $x$ функцию из $[0,1]^{[0,1)}$, соответствующую произвольному подмножеству $\mathbb{R}$ (элементу $2^{\mathbb{R}}$. Просто положим значением этой функции в точке $x$ число, двоичная запись которого это 1 в $k$-ом разряде, если в $k$-ом участке разбиения точка входит в подмножество и 0 иначе. Вот и всё. Как теперь достроить отображение до отображения в $\mathbb{N}^{\mathbb{R}}$ додумайте сами (осталось чуть-чуть: обратный ход).

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

О, хорошая задача! Щас поеду на экзамен, надо будет задать кому-нибудь

[svv]

Nimza писал(а):

Просто положим значением этой функции в точке $x$ число, двоичная запись которого это 1 в $k$-ом разряде, если в $k$-ом участке разбиения точка входит в подмножество и 0 иначе.

Так у нас каждому $x\in [0, 1)$ будет соответствовать бесконечная двоичная дробь, или последовательность нулей и единиц $(b_k)$. А нам нужно натуральное число (удобно считать, что $0\in\mathbb{N}$). Я бы сопоставил полученной бесконечной двоичной дроби $(b_k)$ последовательность натуральных чисел $(n_m)$ по правилу: $n_m=k_{m+1}-k_{m}$, где $k_m$ -- индекс $m$-го нуля в $(b_k)$. Затем числу $x+m$ (где $x\in[0,1), m\in\mathbb{N}$) ставится в соответствие число $n_m$.

В результате областью определения будет не $[0, 1)$, а $\mathbb{R}$.

[Nimza]

svv в сообщении #521279 писал(а):

Так у нас каждому будет соответствовать бесконечная двоичная дробь

Да. Но решения до конца тут писать вроде и нельзя.

[svv]

Ой, простите...