Определенный интеграл

[mirh]

Подскажите как извлечь такой интеграл

$$\int_{0}^{\pi /2} \ln \cos x dx$$

[SpBTimes]

$= \int_0^{\pi/2} \ln(\sin(x)) dx$
Теперь воспользуйтесь формулой $\sin(x) = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$
Разбейте на сумму, после замены переменных получите интегралы в пределах от $0$ до $\pi/4$
После чего введя в интеграле с косинусом замену $t = \pi/2 - x$, сложите интегралы. И всё.

[mirh]

если в сумму разложить и дальше преобразовать интеграл с синусом уничтожается и остается только $\int_{0}^{\pi/2}\ln 2dx$ так?

[SpBTimes]

ну там ничего не уничтожится, но такое будет, да

[mirh]

ну так же
$\int_0^{\pi/2} \ln(\sin(x)) dx=\int_0^{\pi/2} \ln(2\sin \frac x2 \cos \frac x2) dx=\int_0^{\pi/2} \ln2 dx+\int_0^{\pi/2}\ln \sin \frac x2 dx+\int_0^{\pi/2}\ln \cos \frac x2 dx$
если сделать замену $\frac x2=t, dx=2dt$, получим
$\frac \pi2\ln2 +2\int_0^{\pi/4}\ln \sin t dt+2\int_0^{\pi/4}\ln \cos t dt$.
Рассмотрим $2\int_0^{\pi/4}\ln \cos t dt$, если сделать замену
$t=\frac \pi2-x, dx=-dt$, получим
$2\int_0^{\pi/4}\ln \cos t dt=-2\int_0^{\pi/4}\ln \sin x dx$
Получается два последних слагаемых уничтожается и остается $\frac \pi2\ln2$? разве не так

[SpBTimes]

Не так. Пределы пересчитайте для начала

[mirh]

а, вот так: после замены получим
$2\int_0^{\pi/4}\ln \cos t dt=-2\int_{\pi/2}^{\pi/4}\ln \sin x dx$. Если сложить интегралы
$2\int_0^{\pi/4}\ln \sin t dt-2\int_{\pi/2}^{\pi/4}\ln \sin t dt=$$2\int_0^{\pi/4}\ln \sin t dt+2\int_{\pi/4}^{\pi/2}\ln \sin t dt=$$2\int_0^{\pi/2}\ln \sin t dt$.
Таким образом,
$\int_0^{\pi/2}\ln \sin x dx=\frac \pi2\ln2+2\int_0^{\pi/2}\ln \sin x dx=$$\int_0^{\pi/2}\ln \sin x dx=-\frac \pi2\ln2$

[SpBTimes]

ну да