Задачка на последовательность

[smisha]

$\{x_n\}$ - ограниченна. Доказать, что $\{n(x_{n+1}-x_n)\}$ не может иметь пределом $+\infty$.

[gris]

Гармоническим рядом повеяло.

[Профессор Снэйп]

Ограниченна и возрастает почти всюду. На величину порядка $1/n$ она возрастать не может, иначе была бы неограниченна.

[smisha]

Профессор Снэйп
Можно как-нибудь попроще? Я пока не знаком с такими правилами: если элементы последовательности возрастают на величину порядка меньше 0, то последовательность неограниченна.

[gris]

Вот поэтому и надо, чтобы Вы показали свои попытки решения. Чтобы знать Ваш уровень познаний. Кому-то намёка достаточно, а кому-то нужно и поподробнее. Может быть Вы школьник. Тогда и разговор другой. Ибо слова "величину порядка меньше 0" заставляют задуматься.

[sergei1961]

Значит она с какого-то номера больше 10. Тогда $x_{n+1}-x_n>\frac{10}{n}$. Складывайте и да здравствует гармонический ряд!
Интересно, можно из теоремы Штольца вывести?

[smisha]

gris
Я на первом курсе. Знания по мат. анализу на начальном уровне.
sergei1961
Тут нужно без гармонических рядов, потому что о них мне еще не рассказывали.

[gris]

Можно и не упоминать слово "ряд", но без доказательства (или упоминания как известного факта) неограниченности последовательности $\{1+1/2+...+1/n\}$ пожалуй не обойтись.

[smisha]

gris
Я вообще не понял, откуда здесь взялся этот ряд.

[gris]

А верно ли то, что $\{n(x_{n+1}-x_n)\}$ ограничена сверху?
Это неверно, пример очевиден. Значит, дело не в ограниченности.

Попробуйте построить пример, где вторая последовательность всё-таки стремится к бесконечности. Не получается? Что мешает ей?

А если бы было $\{n^2(x_{n+1}-x_n)\}$. Может ли эта последовательность стремиться к плюс бесконечности?

[sergei1961]

Если этот предел существует, то он равен нулю. Последовательность может даже расти, но медленнее логарифма, а не только быть ограниченной.

[smisha]

Жесть задание.

[gris]

Докажите от противного. Допустим, что предел равен бесконечности. Тогда начиная с некоторого места вторая последовательность будет положительной, тогда первая будет монотонно возрастать. Это и имел в виду Профессор Снэйп. Разность соседних её членов можно оценить снизу, как это сделал sergei1961. Ну а теперь надо показать неограниченное возрастание $\sum\limits_N^\infty \dfrac1n$. Это можно сделать с помощью элементарного суммирования дробей. Так что никакой жести.

[smisha]

gris
Объясните пожалуйста, откуда берется эта бесконечная сумма?

[sergei1961]

Эта сумма возникает при сложении неравенств, которые были приведены выше. Доказать, что эта сумма (гармонический ряд) неограниченно возрастает проще всего при помощи элементарного неравенства $\ln(1+x)\leq x, x\geq 0$. Нужно положить последовательно $x=\frac{1}{k}$ при $k=1,...,n$ и все эти неравенства сложить.