хелп! Еще одна интересная задача

[[ws]woland]

Доказать, что в остроугольном треугольнике АВС: OM1 + OM2 + OM3 = R+r где О центр описанной окружности, М1,М2,М3 середины сторон ВС,АС,АВ, R и r -- радиусы описанной и вписанной окружностей (в треуг. АВС)

[RIP]

С геометрией у меня туго, поэтому приведу вычислительное решение.
Обозначим углы треугольника $\angle A=\alpha,\ \angle B=\beta,\ \angle C=\gamma$, стороны треугольника $a=BC,\ b=AC,\ c=AB$, полупериметр $p=\frac{a+b+c}2$, площадь треугольника $S$ (стандартные обозначения).

Тогда $OM_1=R\cos\alpha,\ OM_2=R\cos\beta,\ OM_3=R\cos\gamma$, поэтому

$$\frac{OM_1+OM_2+OM_3}{R}=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)=$$

$$=\cos\alpha+\cos\beta-\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=$$

$$=1-(1-\cos\alpha)(1-\cos\beta)+\sin\alpha\sin\beta=1-4\sin^2\frac{\alpha}2\sin^2\frac{\beta}2+4\sin\frac{\alpha}2\cos\frac{\alpha}2\sin\frac{\beta}2\cos\frac{\beta}2=$$

$$=1+4\sin\frac{\alpha}2\sin\frac{\beta}2\cos\frac{\alpha+\beta}2=1+4\sin\frac{\alpha}2\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2.$$

Поскольку $R=\frac{abc}{4S}$ и $r=\frac Sp$, то

$$\frac rR=\frac{4S^2}{pabc}\ \overset{\text{формула Герона}}{=}\ \frac{4(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}.$$

Обозначим $I$ - центр вписанной окружности, $A_1$ - точка касания вписанной окружности со стороной $BC$.

Тогда $BA_1=p-b=BI\cos\frac{\beta}2$. Из теоремы синусов для $\Delta BIC$:

$$\frac{BI}{\sin\frac{\gamma}2}=\frac a{\sin(\pi-\frac{\beta+\gamma}2)}=\frac a{\cos\frac{\alpha}2}$$

Значит, $p-b=\frac{a\sin\frac{\gamma}2\cos\frac{\beta}2}{\cos\frac{\alpha}2}$. В силу симметрии, $p-a=\frac{c\sin\frac{\beta}2\cos\frac{\alpha}2}{\cos\frac{\gamma}2}$, $p-c=\frac{b\sin\frac{\alpha}2\cos\frac{\gamma}2}{\cos\frac{\beta}2}$.

Отсюда получаем

$$\frac rR=4\sin\frac{\alpha}2\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2.$$