Дифференциальное уравнение первого порядка

[artyomdevyatov]

$(x+y)dx+(y-x)dy=0$
Помогите решить пожалуйста, я как дурак решил через "уравнение в полных дифференциалах" и только потом понял, что обратные производные не равны...
В интернете не нашёл примеров подобного рода. Везде либо обычные уравнения с $y'$, либо такое, как привёл я, но там обратные производные равны и всё легко решается через уравнение в полных дифференциалах (которых тут нет...)

[AKM]

Замена формул картинками на форуме не допускается. Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[Toucan]

Вернул.

[SpBTimes]

введите замену $y = zx$ и получите уравнение с раздел. переменными

[artyomdevyatov]

Прочитал в интернете, что после такой замены $dy=zdx+xdz$. Интересно почему? :)
Так, вот получилось вот это, что делать дальше не знаю...
$(1+z)dx+(z-1)(zdx+xdz)=0$

[ИСН]

уберите нафиг эти дифференциалы и решайте как обычное уравнение с y'.

[artyomdevyatov]

Вот я и хочу узнать, как их убрать и перейти к обычному уравнению с $y'$
Объясните пожалуйста!

[Dan B-Yallay]

ПоделИте все уравнение на $dx$.

[Someone]

artyomdevyatov в сообщении #520969 писал(а):

Прочитал в интернете, что после такой замены $dy=zdx+xdz$. Интересно почему?

Формулу дифференциала произведения знаете? $d(xz)=$?

artyomdevyatov в сообщении #520969 писал(а):

Так, вот получилось вот это, что делать дальше не знаю...
$(1+z)dx+(z-1)(zdx+xdz)=0$

Вам же сказали: должно получиться уравнение с разделяющимися переменными. Вот и разделяйте переменные: все $dx$ в одну часть, все $dz$ - в другую... Хоть что-нибудь сами можете сделать? А то ведь никто подсказывать не будет. Правила запрещают.

[artyomdevyatov]

Получилось $t^2dx+dx=xdt+xtdt$
Блин, я сам решу уравнение с разд. переменными, вы только объясните как к нему перейти?
А то все говорят разное! Перенести - перенёс.
Поделю на dx, получатся $xdt/dx$ и $xtdt/dx$. А какой толк от них?

[Someone]

А вот не надо делить на $dx$. Вы бы хоть общие множители за скобку вынести догадались. Азбука же при разделении переменных.

[artyomdevyatov]

Правильно? :)
$(t^2+1)/dt = (x+xt)/dx$

[Someone]

Я же сказал: не надо делить на $dx$ (и вообще на дифференциалы). Надо вынести за скобки общие множители (Вы не вынесли). А потом разделять переменные. Но ни в коем случае не делить на дифференциалы. Двух повторений хватит, или ещё раз потребуется?

[artyomdevyatov]

Не ругайтесь пожалуйста, я раньше не разделял переменные и "азбуку" эту не знаю...
Вынес всё, что только можно. Откуда $y'$ должно появиться?
$(t^2+1)dx=(1+t)xdt$

[Someone]

artyomdevyatov в сообщении #521053 писал(а):

Откуда $y'$ должно появиться?

Нафиг оно Вам сдалось? (Вообще, $y'=\frac{dy}{dx}$.) Разделяйте переменные. Все $x$ должны собраться в той части, где $dx$, то есть, в левой части, а все $t$ - там, где $dt$, то есть, в правой. Дробь записывается в виде \frac{числитель}{знаменатель}. Потом интегрируйте.