вопрос по тфкп: аналитичность функции 1/z

[broccoli]

необходимо исследовать функцию
$f(z)=1/z$
на то, в каких точках она является аналитической.
на мой взгляд, аналитической она не является вовсе. Но авторитетной источник заявил, что она аналитическая везде, кроме точки
$z=0$
где я ошибаюсь? рассуждала я приблизительно так: функция не удовлетворяет условиям Коши-Римана, следовательно, она нигде не дифференцируема. если она нигде не дифференцируема, то она и не может быть аналитической.

[Профессор Снэйп]

С чего это она условиям Коши-Римана не удовлетворяет?

-- Вт дек 27, 2011 22:53:11 --

Если брать $\mathbb{C}$, то да, в нуле функция не определена и дифференцируемой быть не может.А если брать расширенную комплексную плоскость, то она дифференцируема везде. Обычное дробно-линейное отображение, конформно отображающее расширенную комплексную плоскость на себя. "Выворачивающее её наизнанку", так сказать

[broccoli]

у меня получилось, что действительная часть равна
$u=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
а мнимая
$v=\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$
берём производную от действительной части по $x$, а от мнимой - по $y$
они не равны. поэтому и не удовлетворяет условиям, м?
или я криво беру?

[srm]

broccoli, откуда корни?
$f = \frac{1}{x + i y} = \frac{x - i y}{x^2 + y^2}$

[broccoli]

srm
в квадрат забыла возвести модуль z
спасибо)

[Профессор Снэйп]

Криво берёте

$$ \frac{\partial u}{\partial x}} = \frac{(x^2+y^2)^{1/2} - 2x^2(x^2+y^2)^{-1/2}}{x^2+y^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} $$

$$ \frac{\partial v}{\partial y}} = \frac{-(x^2+y^2)^{1/2} + 2y^2(x^2+y^2)^{-1/2}}{x^2+y^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} $$

Вроде равны производные

[broccoli]

Профессор Снэйп
дада, уже пересчитала, балда я)
спасибо огромное

[Профессор Снэйп]

Ага, а в квадрат таки забыли возвести. Но у меня почему-то всё равно сошлось

-- Вт дек 27, 2011 23:58:25 --

Так я-то с корнем внизу считал!!!!Почему у меня сошлось?

[broccoli]

Профессор Снэйп
у меня, когда я с корнями считала, почему-то не $-2{x^2}$ в знаменателе, а просто $-x/2$
ну и со второй производной и игреком та же ерунда

-- 27.12.2011, 21:04 --

в общем, уже не суть, важно, что в правильном варианте без корня сошлось)

-- 27.12.2011, 21:07 --

а, нет, вы правы, я совсем тугая, производную сложной функции не досчитала до конца, поэтому у меня и не сошлось
с другой стороны, не будь этой ошибки, я бы так и не заметила, что не возвела в квадрат)

[ewert]

С третьей стороны, непонятно совершенно, какой смысл подсовывать именно такие задачки, т.к. ответ заведомо очевиден: аналитична всюду (кроме нуля, разумеется). Ибо:

$\dfrac1{\Delta z}\cdot\left(\dfrac{1}{z+\Delta z}-\dfrac1z\right)=-\dfrac{1}{(z+\Delta z)\,z}\to-\dfrac1{z^2} \quad \text{при}\ |\Delta z|\to0,$

очевидно.

[Профессор Снэйп]

$(1/z)' = -1/z^2$, это каждый первокурсник знает. А ТФКП такие вещи не меняет

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #520759 писал(а):

А ТФКП такие вещи не меняет

Меняет-меняет, там несколько в другом смысле штрих. Хотя то, что все алгебраические выражения аналитичны, и именно по этой причине -- это, действительно, каждый эннокурсник (но отнюдь не первокурсник) знать обязан; более того, сей факт ему обязаны были затвердить на лекциях. Но вот это-то и делает эту задачку нелепой).

[broccoli]

ewert
это всё понятно и, безусловно, очень логично, но меня просто смутила моя криворукость относительно Коши-Римана - я была уверена, что он сойдётся, и сильно удивилась, когда этого не произошло :)