Производная

[Stotch]

Скажите пожалуйста быстренько, чему равна производная $\frac{d}{dx}(\frac{du}{d{\xi}})$
где $\xi=\xi(x,y)$ $u=u(x,y)$
Распишите пожалуйста поподробнее,я просто забыл как это делается,не отправляйте пожалуйста читать книжки и тд.Очень срочно нету времени на это

[Kitozavr]

А разве можно дифференцировать по функции?

[svv]

(Оффтоп)

Kitozavr, просили "быстренько", а Вы...

[Stotch]

я не знаю просто имея $u_x=u_{\xi}\xi_x+u_{\eta}\eta_x$
мне нужно получить $u_{xx}$ ответ у меня есть просто распишите пожалуйста как это получить!!очень срочно

[svv]

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \right)\frac{\partial \xi}{\partial x}\;+\; \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \xi}{\partial x} \right) =\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} \left(\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^2 +\;\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} = u_{\xi\xi} \xi^2_x\;+\;u_{\xi} \xi_{xx}$$

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial \eta} \right)\frac{\partial \eta}{\partial x}\;+\; \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \eta}{\partial x} \right) =\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \left(\frac{\partial \eta}{\partial x} \right)^2 +\;\frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} = u_{\eta\eta} \eta^2_x\;+\;u_{\eta} \eta_{xx}$$

$$u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}\right)=u_{\xi\xi} \xi^2_x\;+\;u_{\xi} \xi_{xx}+u_{\eta\eta} \eta^2_x\;+\;u_{\eta} \eta_{xx}$$

[Stotch]

ок спс щас посмотрю

-- Пн дек 26, 2011 18:17:38 --

в тихонове еще прибавляют $2u_{\xi\eta}\xi_{x}\eta_{x}$
Почему????

[svv]

Потому что спешил.

$$(u_{\xi}\xi_x)_x=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} \right) =\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \right)\frac{\partial \xi}{\partial x}\;+\;\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)=$$

$$=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} \frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial^2 u}{\partial \eta\partial \xi} \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)\frac{\partial \xi}{\partial x}+\;\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}= u_{\xi\xi} \xi^2_x\;+u_{\xi\eta} \xi_x\eta_x +\;u_{\xi} \xi_{xx}$$

$$(u_{\eta}\eta_x)_x=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} \right) =\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial \eta} \right)\frac{\partial \eta}{\partial x}\;+\;\frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \eta}{\partial x} \right)=$$

$$=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \frac{\partial \eta}{\partial x}+\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)\frac{\partial \eta}{\partial x}+\;\frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}= u_{\eta\eta} \eta^2_x\;+u_{\eta\xi} \eta_x\xi_x +\;u_{\eta} \eta_{xx}$$

[Stotch]

А как вы под скобкой получили выражение?? после 3-его равно

[svv]

Имеется формула

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$$

(производная сложной функции). В нее подставляем $z=\dfrac {\partial u}{\partial \xi}$, и получаем:

$$\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial \xi}=\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} \frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial^2 u}{\partial \eta\partial \xi} \frac{\partial \eta}{\partial x}$$