Ряды в матанализе.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #519975 писал(а):

То что Гаусс не понимал доказательства основной теоремы алгебры-это на Ваше усмотрение

Я вовсе не утверждал, что он его не понимал. Прекрасно понимал. Но он его не знал.

Видите ли, "знать" и "понимать" -- понятия существенно разные. Причём ни одно из них не является подмножеством другого. Вы бы почитали всё-таки Кляйна ("История математики в 19-м веке" или что-то типа).

sergei1961 в сообщении #519975 писал(а):

К тому же речь у меня шла о первоначальном курсе.

Вот именно. В первоначальном курсе история математики -- совершенно неуместна. Т.е. уместны лишь отдельные и очень маленькие её фрагменты. Ибо при начальном развитии любой теории в ней появляется очень много шелухи, которая потом постепенно отсеивается. Между тем время, отводимое на обучение -- далеко не бесконечно.

Возвращаясь к основной теореме алгебры -- это очень показательный пример. Геометрическое доказательство Гаусса -- очень изящно и очень содержательно по своей идее, но доводить его до ума, вылавливая всех блох -- на сегодня совершенно немыслимо. Поскольку в конце концов эта теорема сама падает в руки в рамках, например, ТФКП как практически бесплатное приложение к принципу аргумента. В рамках же алгебры (если говорить именно о преподавании) её вполне достаточно просто анонсировать, поскольку ТФКП сама по себе от этой теоремы никак не зависит.

[sergei1961]

Если спорить-давайте спорить корректно, не передёргивая. Хотя споры редко полезны, к сожалению...
1. Гаусс и сам толком не понимал-это ведь слова из Вашего поста?
2. Одно из доказательств Гаусса ОТА приведено у Фихтенгольца. К нему есть претензии? Это к вопросу уже, что не знал.
Может быть Вы его уровень и его работы не совсем корректно оцениваете? Строгие доказательства закона взаимности, квадратичных экспоненциальных сумм, теория гипергеометрических функций, задачи о правильных многоугольниках, свойства q-многочленов, и тд-я не слышал претензий к уровню строгости в них. Конечно, я не всё знаю и перечислил только малость.
3. Так сложилось, что лучшие лекторы, которых я слушал в универе-всегда много рассказывали по истории. И поэтому их лекции наверное лучше всего сохранились в памяти и пригодились.
Один пример приведу: Иосиф Семенович Иохвидов, в известный математик, автор знаменитой монографии по функану. Треть лекций по функану рассказывал историю этих задач, и ничего, всё успел.
Потому что в преподавании нужно не только солянку из фактов преподать. А чтобы осталось общее понимание, общий каркас, на котором всё держится. А нет лучшего способа его запомнить, как знать этапы его построения. А лишних этапов нет, это Вам только кажется, когда талантливые люди кладут свои кирпичики, ничего не пропадает. Поэтому значительных математиков доисторических нет, так мне кажется. Это только уровень нашего недопонимания.
А книгу Клейна я в юности читал. Вы если будет время Пуанкаре почитайте, из книги которого О Науке списан последний абзац моего предыдущего поста. Или Аски, который называет маразмом как его учили в универе, когда он среди моря абстракции, лично для него оказавшейся совершенно не нужной во всей профдеятельности, один раз походя услышал про функции Бесселя, лишь в качестве проходящего примера. Или Куранта, который пишет что эпсилоны-дельта с самого начала курса-дорога никуда. Неглупые люди были.
Вот есть ещё одна секта абстракционистов, которые школьнуж геометрию из аксиом излагают, якобы на строгих основаниях. До чего в школах дошло: тут диагноз просто очевиден, это преступление.
Мамы разные нужны, и такие и такие, главное наверное не надо считать что нужны одинаковые.
Не отрицаю, есть дисциплины скажем на старших курсах мехмата, когда и схоластические курсы нужны. Как ещё дифференциальные формы читать или анализ на многообразиях. Но это на старших курсах и на мехмате, то есть редко где. А на первоначальном преподавании матана строгость в ущерб наглядности это более чем неверно, это преступление. Тем более, что строгость-она почти всегда мнимая. А неглупый преподаватель не перейдёт грань, научив отличать строгие доказательства от нестрогих. Для этого не обязательно всё строго доказывать.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #520006 писал(а):

Одно из доказательств Гаусса ОТА приведено у Фихтенгольца. К нему есть претензии?

Есть, причём минимум две.

Во-первых: самого Гаусса я, конечно, не читал, но из двух доказательств Гаусса, эскизно набросанных Кляйном, ни одно не совпадает с фихтенгольцевским. Немного напоминает первое (по Кляйну), но в таком случае Фихтенгольц его ну о-очень творчески переработал.

(Цитирую Кляйна:)

... и исследует форму кривых $P=0$ и $Q=0$ в плоскости переменной $z=x+iy$. На достаточно большом расстоянии от начала координат, т.е. для достаточно больших абсолютных значений $z=re^{i\varphy}$, эти кривые асимптотически приближаются к кривым $z^n=0$, т.е. к кривым

$$r^n\cos n\varphi=0,\quad r^n\sin n\varphi=0.$$

Два последних уравнения изображают две системы лучей, выходящих из начала координат, причём лучи одной системы попеременно чередуются с лучами другой. Из взаимного расположения асимптот искомых кривых Гаусс выводит существование по крайней мере одной точки пересечения этих последних.

Во-вторых, у Фихтенгольца в доказательстве явный логический провал: он там легкомысленно вводит арктангенс $\frac PQ$, однако только из $P^2+Q^2\neq0$ корректность такой функции ещё не следует. Между тем из асимптотического поведения на бесконечности совершенно явственно следует её некорректность.

Наконец (это уже чисто методически): фактически Фихтенгольц попытался использовать соображения, примерно соответствующие принципу аргумента, но всячески его избегая. Естественно, получилось довольно занудно.

[sergei1961]

Не обращал внимания, спасибо, внимательно перечитаю.
А почему арктангенс некорректно введён?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #520157 писал(а):

А почему арктангенс некорректно введён?

Потому, что его приходится доопределять по непрерывности при переходе через ноль знаменателя. И на достаточно большой окружности такое доопределение заведомо многозначно. Фихтенгольц же обращается с ним как с обычной, вполне однозначной функцией. Это жульничество.

[sergei1961]

Должен согласиться с Вами. До многозначности наверное можно и не доходить, просто раз возможность $Q=0$ есть, то арктангенс определён некорректно, если аргумент его не является знакоопределённым, а это не так. Спасибо за этот пример. Пора тему про ошибки у Фихтенгольца заводить, интересно, сколько их будет.
В плане идейных тем топика для меня ничего не изменилось. А короткие доказательства с привлечением других разделов при обучении не всегда самые лучшие. Ну и принцип есть Харди-Литтвульд-Пойа: совершенное доказательство должно проводится в терминах самой задачи. Хотя другие тоже интересны, это понятно. Беда в том, что есть теоремы в первоначальных курсах, для которых подобных доказательств так и не нашли. Пока? Я знаю два примера: один как раз ОТА, второй-Жорданова форма. Ну нет простых коротких доказательств.
Из Гаусса я прорабатывал подробно статью о суммах Гаусса. Там всё идеально написано: сначала много расчётных примеров, потом ясное доказательство, не зря он 11 лет его искал, ну и перевод прекрасный академический советский. Несколько тем моих работ напрямую начинались у него, поэтому для меня это самый современный математик. Поэтому снисходительное отношение немного покоробило.
А тему про ошибки сейчас заведу.

[eugrita]

а вообще рядов сходящихся с рекуррентными формулами можно немало придумать, например $a_n=\sin(a_{n-1}+a_{n-2})$
Да только непонятно их применение и практическая польза.
(Считаю главным в математике все же применения)

[ewert]

sergei1961 в сообщении #520403 писал(а):

До многозначности наверное можно и не доходить, просто раз возможность $Q=0$ есть, то арктангенс определён некорректно,

Это не так: сама по себе неопределённость арктангенса вовсе не препятствует его доопределению по непрерывности (и даже гладкости) на некоторую окрестность линии разрыва -- но только локально. А вот дальше возникает проблема с глобальной продолжимостью этого доопрделения, и вот эту-то проблему игнорировать уж никак нельзя.

[sergei1961]

Нельзя эту некорректность проще понять: чтобы корректно определить артангенс от неограниченной величины и доопределить его по непрерывности, эта неограниченная величина должна быть просто знакоопределена. Тогда мы может аккуратно продолжить его по непрерывности, выбрав значение $\pm \frac{\pi}{2}$. Причём тут линия разрыва, её окрестность и продолжение в комплексной плоскости я не понял, ведь все величины действительны.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #520860 писал(а):

Тогда мы может аккуратно продолжить его по непрерывности,

Продолжить локально-то легко, только вот при обходе вдоль достаточно большой окружности возникает у этого продолжения неоднозначность. Следовательно, глобально продолжить (с сохранением ну хотя бы непрерывности, не говоря уж о дифференцируемостях) -- невозможно. Фихтенгольц же ничтоже сумняшеся обращается с этой функцией так, как если бы она была определена именно глобально.

[sergei1961]

Я не понимаю ничего, из того что Вы последнее говорите, но это моя проблема, на этом и останавлюсь наверное. Только напоследок спрошу ещё две вещи.
1. Пусть аргумент арктангенса стремится к бесконечности, причём разных знаков. Как его можно корректно определить хотя бы с сохранением непрерывности в одной этой точке?
2. Откуда берутся другие проблемы, кроме обращения знаменателя в ноль?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #521471 писал(а):

1. Пусть аргумент арктангенса стремится к бесконечности, причём разных знаков. Как его можно корректно определить хотя бы с сохранением непрерывности в одной этой точке?

Ну Вы же сами и предложили (если я правильно Вас понял), как. По непрерывности. Добавив $\pi$, или вычтя $\pi$, или ничего не меняя -- по контексту. Беда только в том, что при доопределении этого арктангенса таким способом при обходе окружности в момент возврата в исходную точку он примет совсем другое значение, чем имел до обхода. Потому эта процедура и не пройдёт.

[sergei1961]

Конкретный вопрос: как определить $\arctg\frac{1}{ x}$ при $x\to 0$ по непрерывности?
Далее: По какой окружности? На вещественной прямой есть окружности?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #521585 писал(а):

Конкретный вопрос: как определить $\arctg\frac{1}{ x}$ при $x\to 0$ по непрерывности?

Например, как $\pi+\arctg\frac{1}{ x}$ левее нуля и $\arctg\frac{1}{ x}$ правее нуля (а в нуле -- $\frac{\pi}2$, конечно).

Дело в том, что Фихтенгольц написал тот арктангенс в несколько бессознательном состоянии. Он явно подразумевал под ним просто аргумент комплексного значения многочлена (правда, дополненный до $\frac{\pi}2$, но это непринципиально). Однако позволить себе комплексности в этом месте он не мог, отсюда и недоразумения.

sergei1961 в сообщении #521585 писал(а):

По какой окружности?

По окружности $|x+iy|=R$ на комплексной плоскости.

--------------------------------------------------------
В общем, говорить о дифференцированиях арктангенса (при любой его интерпретации) в круге -- совершенно бессмысленно. Если уж пытаться доказывать эту теорему, оставаясь в рамках вещественного анализа и опираясь на "арктангенс", то надо задействовать совсем другую идеологию -- топологическую, а интегралы тут вовсе не при чём. Примерно так. Образ любого достаточно большого круга содержит как минимум некоторый контур, охватывающий начало координат (вот именно из-за тех самых свойств продолжения арктангенса). И в то же время, по предположению, не содержит самого начала координат. Т.е. получается, что непрерывный образ односвязного множества неодносвязен, а это не есть хорошо.