Ранг матрицы и определитель

[Unconnected]

4) поменяется на противоположный)
В 3 - если ненулевые - то изменится, но какого-то закона определенного не вижу. И вообще это мааленькая матрица, а там большая)

[svv]

Что касается третьего -- можете сколько угодно раз (и хоть четное, хоть нечетное количество) прибавлять строку к другой строке, определитель от этого не изменится.

Можно даже прибавить к строке любую линейную комбинацию остальных строк, определитель не изменится (только самой этой строки в линейной комбинации не должно быть).

То же верно и для столбцов.

Unconnected писал(а):

В 3 - если ненулевые - то изменится, но какого-то закона определенного не вижу.

Если такое получилось, проверьте еще раз. Если все равно изменился -- давайте матрицу сюда.

[Unconnected]

Ой что-то ночью совсем с устным счётом плохо. Ну хорошо, в исходной задаче сложили всё в первую, определитель не изменился..

[svv]

Теперь сделайте то преобразование первой строки, при котором она приобретет желательный вид (чтоб было приятно, как Вы говорили). КИО?

[Unconnected]

Ну допустим умножаем последнюю строку на (n-1)(в уме, не записывая), вычитаем её из первой:

$ \begin{pmatrix} a &a &... &a &(n-1)b+2a-na \\ b &a &... &b &b \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ b &b &... &a &b \\ b & b& ... & b &a \end{pmatrix}$

[svv]

У Вас так получилось:
$\begin{pmatrix} a+(n-1)b &a+(n-1)b &... &a+(n-1)b &a+(n-1)b \\ b &a &... &b &b \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ b &b &... &a &b \\ b & b& ... & b &a \end{pmatrix}$

ИСН спросил:

ИСН писал(а):

Теперь: какую строчку мы "хотели бы" иметь? какую строчку будет очень приятно вычитать из остальных?

Вы ответили:

Unconnected писал(а):

Ну а чтоб приятно - b b b b b .....

Разумеется, речь о первой строке.
Так надо превратить в первой строке то, что сейчас, в то, что приятно.

[Unconnected]

Сложить n-2 других строк и вычесть сумму из первой?

[svv]

Нет, умножить первую на нужный коэффициент:

ИСН писал(а):

вооооот
так
а можно ли всю строку матрицы умножить на какое-то число? а что при этом случится с определителем?

Определитель при этом изменится, но Вы знаете, как это скомпенсировать.

[Unconnected]

Ну, умножаем на $\frac{(b-a)}{n-1}$, если положить что определитель во столько же раз и изменится, то запомним на будущее, разделить надо..
Ну а теперь, наверное, вычитаем верхнюю из всех остальных, получается подобие диагональной матрицы, где на диагонали a-b.. только верхняя строка мешает всё равно. Надо раскладывать по строке или как?

[svv]

Умножать первую строку надо на $\frac {\text{желательное значение её элементов}} {\text{текущее значение её элементов}}$, то есть на $\frac {b} {a+(n-1)b}$. Перед определителем должен появиться множитель, обратный этому, тогда определитель станет прекрасным , но значение всего выражения не изменится.

[Unconnected]

Ну а сам определитель как находить уже теперь?

[svv]

А у Вас так получилось?

$$\frac {a+(n-1)b}{b} \begin{vmatrix} b & b &... & b & b \\ b &a &... &b &b \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ b &b &... &a &b \\ b & b& ... & b &a \end{vmatrix}$$

[Unconnected]

Ага, так)

[svv]

Unconnected писал(а):

Ну а теперь, наверное, вычитаем верхнюю из всех остальных, получается подобие диагональной матрицы, где на диагонали a-b.. только верхняя строка мешает всё равно. Надо раскладывать по строке или как?

Эта схема правильная, но надо было перед её применением исправить коэффициент, поэтому только сейчас возвращаемся.
Проделайте вычитание, а потом разложите по первому столбцу (это будет очень просто и приятно).

[Unconnected]

$\frac {a+(n-1)b}{b} \begin{vmatrix} b &... & b & b \\ 0 &0&a-b &...&0 \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ 0 &... &0&a-b &0 \\ 0& ... & 0 &0&a-b \end{vmatrix} $
Приятно, до второй строки в столбце.. вот "вычеркиваем" её, получается матрица выше, какой у неё определитель?
А, мб её можно разложить уже по строке..