Очевидно, что при b=0 интеграл сходится при а>1
Ну, положим, при

подынтегральное выражение не шибко-то и смысл имеет. Как минимум надо делать какие-то оговорки.
А если

, то просто перепишите интеграл в виде ряда, составленного из интегралов по полупериодам синуса, а потом оцените этот ряд сверху и снизу, заменяя, соответственно,

на его значения на концах полупериода. Причём случай

существенно проще -- там оценки получаются совсем тупые. А вот для

чуток деликатнее. Там придётся оценивать интегралы типа

. И если при

всё опять же просто -- с ростом

эти интегралы стабилизируются -- то при

эти интегралы асимптотически расходятся, и придётся ловить скорость их расходимости. Но и это нетрудно: эти интегралы, в свою очередь, двусторонне оцениваются через интегралы типа

. При

получается логарифмическая расходимость, а при

можно заменить верхний предел на плюс бесконечность, после чего там тоже всё ясно.