Ранг матрицы и определитель

[Unconnected]

$\begin{pmatrix} 1 &\alpha &-1 &2 \\ 2 &-1 &\alpha &5 \\ 1 &10 &-6 &1 \end{pmatrix} $
Вот есть матрица, надо посчитать её определитель в зависимости от $\alpha$. Я так понимаю, нужно найти все миноры, посмотреть при каких $\alpha $ они нули, при каких нет.. то есть, получается, если ищем миноры 3-го порядка, вычеркиваем 3 строки (тут вариантов нет), и всякие вариации вычеркивания 3х столбцов?

2) Найти определитель:
$\begin{pmatrix} a &b &... &b &b \\ b &a &... &b &b \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ b &b &... &a &b \\ b & b& ... & b &a \end{pmatrix}$

[bot]

1) Вам определитель нужен или ранг? Первое невозможно, так как матрица неквадратная. Стало быть ранг. Второго порядка ненулевой нашли? Окаймляйте его - всего ведь два варианта. А элементарными преобразованиями ещё проще.
2) Для начала что-нибудь хорошее надо сделать. А не сложить ли все строчки где-нибудь?

[Unconnected]

2) Ну, сложим.. я так понимаю, надо привести её к какому-нибудь "необычному" виду, где определитель равен числу строк или что-то такое.. а я таких свойств не знаю..

[ИСН]

Таких и я не знаю. Потому что таких не бывает.
Вы сложите, сложите. Что получилось? Что при этом произошло с определителем?

[Unconnected]

Не изменится вроде.. только пока не знаю, что складывать, т.к. незнамо что хочу получить.
Ну почему, бывает, вон у ступенчатой матрицы определитель равен количеству непустых строк (столбцов).

[ewert]

Unconnected в сообщении #519611 писал(а):

2) Ну, сложим.. я так понимаю, надо привести её к какому-нибудь "необычному" виду, где определитель равен числу строк или что-то такое.. а я таких свойств не знаю..

Вычтите первую строчку из каждой следующей. Определитель как-то резко упростится, но, к сожалению, не до конца -- будет мешать первый столбец. А из-за чего так вышло? Что в этой вычитаемой строчке не совсем хорошо, чтоб добиться полного счастья? Как бы её подправить?...

Так вот если предварительно к первой строке прибавить все остальные (и потом сделать кое-что ещё) -- всё сильно получшеет.

[Unconnected]

Можно ещё хинт: в итоге первая строка должна оказаться нулевой и всё остальное, кроме диагонали, тоже нулевым?

[ewert]

Unconnected в сообщении #519681 писал(а):

Можно ещё хинт: в итоге первая строка должна оказаться нулевой

Нет. Если бы этого удалось добиться, то и определитель оказался бы нулевым. Но это заведомо не так как минимум для одного очевидного частного случая.

[Unconnected]

А, ну да.. если по строке разложить то везде будет умножение на 0. Интересно, а если бы удалось добиться и переставили бы эту нулевую строку куда-нибудь в конец - по идее всё равно определитель был бы 0.. А случай наверное когда n=2, определитель $a^2 - b^2$. Ну, значит, под главной диагональю должно всё занулиться..

И ещё, bot выше сказал, по 1й задаче (кстати да, ранг там, опечатался сорри) всего два варианта.. но почему, миноров 2го порядка там штук.. 10 примерно, надо ещё самый большой выбрать. И как окаймлять минор, где например берутся элементы на пересечении 1,3 строк и 2, 4 столбцов?

[ewert]

Unconnected в сообщении #519699 писал(а):

но почему, миноров 2го порядка там штук.. 10 примерно, надо ещё самый большой выбрать.

Зачем самый большой? Надо просто какой-либо один ненулевой, притом чем проще расположенный, тем лучше. И там просто бросается в глаза левый нижний.

Теперь для того, чтобы ранг матрицы был меньше трёх, необходимо, чтобы каждый минор третьего порядка, содержащий этот маленький (а их, как было метко замечено, и всего-то два), обратился бы в ноль. Если же ещё маленько подумать, то этого и достаточно.

[Unconnected]

А может случиться так, что если взять другой минор 2го порядка, то определители его окаймляющих не смогут одновременно равняться 0? Вы, наверное, об этом и говорили про достаточность.. Ну, получается система из двух уравнений (может и не линейных), она должна быть разрешима. Возможно, это связано с тем, что мы предположили что ранг=2, значит любые 2 столбца-строки нельзя выразить друг через друга (да ведь?), только что с того, не знаю)

[ewert]

Unconnected в сообщении #519753 писал(а):

А может случиться так, что если взять другой минор 2го порядка, то определители его окаймляющих не смогут одновременно равняться 0?

Я не очень понял (лень понимать), о чём речь, но давайте так.

Ранг меньше двух быть, естественно, не может -- раз уж есть хоть один ненулевой минор второго порядка.

Для того, чтобы ранг был меньше трёх, очевидно необходимо, чтобы все окаймляющие миноры были нулевыми (просто потому, что для этого все вообще миноры третьего порядка были нулевыми).

А почему обратно -- достаточно?...

Если все окаймляющие миноры третьего (т.е. максимально возможного в данном случае) порядка нулевые, то это означает, что каждый следующий столбец является некоторой линейной комбинацией первых двух (ведь те-то -- заведомо независимы, уже по тому самому минору второго порядка). А это означает, что количество линейно независимых столбцов в матрице равно именно двум. И, значит, ранг матрицы равен именно двум: ведь ранг, помимо всего прочего -- это ещё и максимальное количество линейно независимых столбцов матрицы.

В более общем случае -- когда разрыв между порядком обнаруженного ненулевого минора и размером матрицы больше единицы -- всё примерно так же, только заклинаний придётся произнести немного больше.

[svv]

Unconnected писал(а):

А может случиться так, что если взять другой минор 2го порядка, то определители его окаймляющих не смогут одновременно равняться 0?

То есть для данного минора все окаймляющие равны нулю, но есть какой-то другой, у которого они не все равны нулю?

Иначе говоря, Вы спрашиваете, возможна ли такая ситуация:
С данным минором мы не можем получить ранг 3 (т.к. все его окаймляющие -- нулевые), но есть другой минор порядка 2, и у него есть ненулевые окаймляющие, и там мы в ранг 3 пробъемся.

Нет, такого быть не может. Есть теорема:
Ранг матрицы равен порядку любого её базисного минора.
А базисный минор -- это который сам ненулевой, но все его окаймляющие нулевые (или просто нет больших по размеру).

Поэтому-то и надо проверять не все 4 минора третьего порядка, а только два окаймляющих -- которые окаймляют любой удобный ненулевой минор второго порядка.

[Unconnected]

Так, ну, с этим более-менее понятно.. (svv, да, это я и имел в виду))
А как определитель найти? Сделал что говорили, ну и что..

[ИСН]

Что с матрицей-то стало?