Помогите решить предел.

[MrWorm]

Здравствуйте, немогли бы подсказать как найти предел $\lim _{ x\to0 }{\sqrt[\sin x](((e^x+\cos x+\cos 2x)/3)^3)}$ используя только замечатльные пределы и их следствия? Спасибо

[SpBTimes]

приведите его для начала ко второму замечательному.

[MrWorm]

В этом то и проблема.

[SpBTimes]

Воспользуйтесь тем, что $(f(x))^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln{f(x)}}$

[ИСН]

Это всё для потом. Для начала запишите условие по-человечески. Кто на ком стоял?

[MrWorm]

Вот, более понятный вид $\lim_{x\to 0}(\frac {e^x+\cos x + \cos 2x}{3})^{\frac {3}{\sin x}}$

[ewert]

Дешевше всего выйдет прологарифмировать и выписать первые два члена формулы Тейлора для скобки; тогда ответ получается мгновенно и в уме.

[Praded]

У него условие - через замечательные пределы.

[bot]

Но логарифмировать и в этом случае не возбраняется.

[MrWorm]

К сожалению предел можно находить только с помощью преобразований или приведению к замечательному пределу, то есть без бесконечно малых, эквивалентов, производных, лопитирования и прочего.

[ИСН]

Да легко. Превращаете косинусы в единицы, экспоненту в 1+x, а сверху синус заменяете на там понятно в общем на что.

[MrWorm]

ИСН, но вы ведь использовали эквиваленты, а как я говорил можно использовать только элементарные преобразования и замечательные пределы.

[boyma]

$...=\lim_{x\to0}(1+(\frac{e^x+\cos x+\cos2x-3)}{3})^{\frac {3}{\sin x}}=\exp(\lim_{x\to0}(\frac {e^x+\cos x+\cos2x-3)}{\sin x}))=\exp(\lim_{x\to0}(\frac {-(-e^x+(1-\cos2x)+(1-\cos x)+1)}{(\frac {x\cdot\sin x}{x})}))=\exp(\lim_{x\to0}(\frac {-(-e^x+2x^2+x^2/2+1)}{x}))=\exp(\lim_{x\to0}(\frac {(e^x-1)}{x}- \frac {3x}{2}))=\exp(\lim_{x\to0}(1- \frac {3x}{2}))=\exp$

[ewert]

MrWorm в сообщении #519427 писал(а):

ИСН, но вы ведь использовали эквиваленты, а как я говорил можно использовать только элементарные преобразования и замечательные пределы.

Ну так тупо и замените после логарифмирования логарифм в числителе на добавку к единице от подлогарифменного выражения (ну, разумеется, формально сперва домножив и разделив на эту поправку, как среди пуритан принято). Ведь эта добавка стремится откровенно к нулю, не так ли?... -- ну вот Вам и замечательный предел, притом даже второй.

Потом разбейте полученный числитель на экспоненту минус единичку, косинус минус единичку и другой косинус тоже минус единичку, разделив всё это почленно на синус -- и всё сразу станет ясным.

[MrWorm]

Всем больше спасибо