Сходимость несобственного интеграла с параметром

[provodnick]

Помогите пожалуйста исследовать на сходимость интеграл
$\int_0^\infty \frac{1}{1+x^a|\sin^b(x)|}$

Очевидно, что при b=0 интеграл сходится при а>1
При a<=1 интеграл расходится для любых b, можно легко написать оценку без синуса.
0 не является особой точкой, т.к. даже при отрицательных значениях параметров функция в окрестности будет ограничена.

Осталось рассмотреть a>1 при различных b. Стандартные признаки сходимости здесь не применимы, а как написать оценку я пока не вижу, помогите пожалуйста.

[SpBTimes]

Сойдётся, когда $\alpha > 1$ и $\beta > 1$
Оцените рядом по кускам, где синус знак не меняет

[ewert]

provodnick в сообщении #519364 писал(а):

Очевидно, что при b=0 интеграл сходится при а>1

Ну, положим, при $b=0$ подынтегральное выражение не шибко-то и смысл имеет. Как минимум надо делать какие-то оговорки.

А если $b\neq0$, то просто перепишите интеграл в виде ряда, составленного из интегралов по полупериодам синуса, а потом оцените этот ряд сверху и снизу, заменяя, соответственно, $x^a$ на его значения на концах полупериода. Причём случай $b<0$ существенно проще -- там оценки получаются совсем тупые. А вот для $b>0$ чуток деликатнее. Там придётся оценивать интегралы типа $\int\limits_0^{\pi}\frac{dx}{\sin^bx+n^{-a}}$. И если при $b<1$ всё опять же просто -- с ростом $n$ эти интегралы стабилизируются -- то при $b\geqslant1$ эти интегралы асимптотически расходятся, и придётся ловить скорость их расходимости. Но и это нетрудно: эти интегралы, в свою очередь, двусторонне оцениваются через интегралы типа $\int\limits_0^{\pi/2}\frac{dx}{x^b+n^{-a}}$. При $b=1$ получается логарифмическая расходимость, а при $b>1$ можно заменить верхний предел на плюс бесконечность, после чего там тоже всё ясно.

[provodnick]

ewert
Огромное вам спасибо!