Предел. Почему он равен трем?

[number_one]

У меня получилось $1$, а должно быть 3...

$$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x^2-1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)+\ln(x+1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}{\big(\sqrt[3]{x-1}-1\big)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}{x-2}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\Big(\ln(x-1)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)\Big)'}{\Big(x-2\Big)'}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\frac{1}{x-1}\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)+\ln(x-1)\cdot C(x)}{1}=1$$

$C(x)=C$ при $x\to 2$ -- какое-то число$C$, не равное нулю...

$\ln(x-1)C(x)\to 0$

А что неправильно? Ответ должен быть $3$

[Joker_vD]

Ну да, трем и равен — заменяете $\ln(x-1)=\ln(1+(x-2))$ на $x-2$ по эквивалентности и получаете $\lim\limits_{x\to2}\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1$. А он равен трем, а вовсе не одному.

[number_one]

Joker_vD в сообщении #519377 писал(а):

Ну да, трем и равен — заменяете $\ln(x-1)=\ln(1+(x-2))$ на $x-2$ по эквивалентности и получаете $\lim\limits_{x\to2}\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1$. А он равен трем, а вовсе не одному.

Спасибо, понял!

Но только ошибку у себя не нашел..

[Joker_vD]

Ну смотрите:

$$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\frac{1}{x-1}\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)+\ln(x-1)\cdot C(x)}{1}=\frac{\lim\limits_{x\to2} \big(\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}{\lim\limits_{x\to2} x-1} +$$$$

$$+\lim\limits_{x\to2} \ln(x-1)C(x)=\frac{\sqrt[3]{(2-1)^2}+\sqrt[3]{2-1}+1}{2-1}+0\cdot\lim\limits_{x\to2}C(x)=\frac{1+1+1}{1}+0=\frac31=3.$$

Признаться, даже обидно — вы так ловко все преобразования провели, а на последнем шаге так оплошали.

[bot]

Дык и у Вас после Лопиталя второе слагаемое в нуль уходит, а первое - в 3, где Вы 1 видали?

[number_one]

Точно, спасибо, понятно!

[number_one]

$$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x^2-1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)+\ln(x+1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}{\big(\sqrt[3]{x-1}-1\big)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\ln(x-1)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)}{x-2}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\Big(\ln(x-1)\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)\Big)'}{\Big(x-2\Big)'}=$$

$$=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\frac{1}{x-1}\big((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\big)+\ln(x-1)\cdot \big(\frac{2/3}{\sqrt[3]{x-1}}+\frac{1/3}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}\big)}{1}=\frac{1}{2-1}\cdot (1+1+1)+0=3$$

А вот так без констант лишних!