комплексные числа

[RIP]

Докажите, что $z\in\mathbb{C}$ удовлетворяет условию $|z|-Re z\leqslant\frac12$ тогда и только тогда, когда найдутся комплексные числа $z_1,\ z_2$, что $z=z_1z_2$ и $|z_1-\overline z_2|\leqslant1$. ($\overline z_2$ - это $z_2$ сопряженное)

[maxal]

Для доказательства необходимости можно просто взять $z_1 = z_2 = \sqrt{z}.$

Дело в том, что если $z = r e^{i\phi},$ то
$\frac{1}{2} \geq |z| - \mathop{\bf Re} z = r - r\cos\phi = 2r\sin^2\frac{\phi}2.$
Откуда
$| \sqrt{r}\sin\frac{\phi}2 | \leq \frac{1}{2}.$
Поэтому
$|\sqrt{z} - \overline{\sqrt{z}}| = | 2 \mathop{\bf Im} \sqrt{z} | = | 2 \sqrt{r}\sin\frac{\phi}2 | \leq 1.$

Добавлено спустя 11 минут 6 секунд:

Теперь достаточность. Пусть $z_k = r_k e^{i\phi_k}$ для $k=1,2$ и $z=z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\phi_1+\phi_2)}.$

Тогда
$1 \geq |z_1 - \overline{z_2}|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\phi_1+\phi_2)$
и поэтому
$|z| - \mathop{\bf Re} z = r_1 r_2 - r_1 r_2\cos(\phi_1 + \phi_2) \leq r_1 r_2 - \frac{r_1^2 + r_2^2 - 1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{(r_1-r_2)^2}{2} \leq \frac12.$

[RIP]

Я решал так. Условие $|z_1-\overline z_2|\leqslant1$ означает, что $z_2=\overline z_1+\varepsilon,\ |\varepsilon|\leqslant1$. Соответственно, $z=|z_1|^2+\varepsilon z_1$. Поэтому второе условие можно переписать в виде

$$\min_{x\geqslant0}(|z-x|^2-x)\leqslant0$$

Стандартная задача на квадратный трехчлен.