Частные случаи гипотезы брокарда

[analitik777]

Всем привет! Кто-нибудь знает, доказаны ли следующие утверждения:
1) между квадратами двух соседних простых чисел найдётся хотя бы одно простое число;
2) между квадратами двух соседних простых чисел найдётся хотя бы два простых числа;
3) между квадратами двух соседних простых чисел найдётся хотя бы три простых числа.
Случай когда количество простых чисел равно 4 называется гипотезой Брокарда.

[Sonic86]

analitik777 в сообщении #518941 писал(а):

1) между квадратами двух соседних простых чисел найдётся хотя бы одно простое число;

Это почти эквивалент 4-й гипотезы Лежандра: в $(x;x+\sqrt{x})$ есть хотя бы одно простое число. Она не доказана. Остальное - еще сложнее.

[vorvalm]

Данная задача относится к аддитивным проблемам простых чисел как грубая оценка снизу числа простых чисел, заключенных между квадратами двух соседних простых чисел.
Если рассматривать число простых чисел между квадратами последовательных простых чисел, то здесь мы видим явную неравномерность, обусловленную различной величиной разности между соседними простыми числами.
Если же рассматривать число простых чисел между квадратами простых чисел с одной и той же разностью, то здесь видна определенная монотонность.

$.\quad(3, 5) - 5,\qquad\;\;\;\;(7, 11) - 15,\qquad(23, 29) - 27,$
$.\quad(5, 7) - 6,\qquad\;\;(13, 17) - 22,\qquad(31, 37) - 57,$
$.(11, 13) - 9,\qquad\;\;(19, 23) - 27,\qquad(41, 47) - 80,$
$.(17, 19) - 11,\qquad(37, 41) - 44,\qquad(61, 67) - 90,$
$.(29, 31) - 16,\qquad(43, 47) - 46,\qquad(73, 79) - 106,$
$.(41, 43) - 20,\qquad(67, 71) - 66,\qquad(83, 89) - 114,$
$.(59, 61) - 32,\qquad(79, 83) - 75,$

Из приведенной таблицы видно, что наименьшее число простых чисел находится между квадратами близнецов. Поэтому сначала надо дать оценку снизу числа простых чисел именно между квадратами близнецов.