2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 11:19 


23/12/11
4
помогите сформулировать доказательство сходимости
$$\int _{0}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
я говорил так:
есть 2 сомнительные точки, 0 и 1. возьмем c : 1< c < 0.
рассмотрим интеграл:
$$\int _{c}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
возьмем b<1 и b>c
$$\int _{1}^{b} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx = \int _{c}^{b} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx + \int _{b}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
в силу того, что подынтегральная функция непрерывна для любого конечного отрезка [c,b] => первое слагаемое сходится.
нас интересует только второе слагаемое.
пусть $b = 1 - \varepsilon$;  \varepsilon \to 0
тогда
$$\int _{b}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx \approx \int _{b}^{1} \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arctg(a)\arcsin(b)$$
что есть конечное число, следовательно интеграл от c до 1 сходится.
теперь рассмотрим интеграл:
$$\int _{0}^{c} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$
по аналогии с первым случаем нам интересен только интеграл от 0 до b, где $b=\varepsilon ; \varepsilon \to 0$
$$\int _{0}^{b} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx \approx \int _{0}^{b} \frac{ax}{x \sqrt{1-x^2}} dx = a\arcsin(b)$$
что есть конечное число, следовательно интеграл от 0 до c сходится.
значит и первоначальный интеграл сходится на интервале от 0 до 1.

преподаватель сказал, что неправильно. буду благодарен, если укажите на неправильные или спорные места в рассуждении.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Все рассуждения со знаком $\approx$ следует прокручивать в уме, чисто для себя, и там же оставлять. На суде такие аргументы развалятся. Туда надо выносить строгое "больше", "меньше", "должен, вот расписка", "убил, вот свидетели".

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:11 


23/12/11
4
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:25 


06/04/11
495
ИСН, достаточно ли показать, что подынтегральная функция всюду на промежутке $\left[0,1\right]$ непрерывна? (по идее, достаточно даже кусочной непрерывности, главное, чтобы в бесконечность не обращалась).

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Inverse12 в сообщении #518848 писал(а):
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

Так вполне можно было бы сказать, будь это правдой. Но увы: вверху остаётся отнюдь не $\arctg a$.

-- Пт дек 23, 2011 13:30:39 --

srm в сообщении #518849 писал(а):
достаточно ли показать, что подынтегральная функция всюду на промежутке $\left[0,1\right]$ непрерывна?

Достаточно, но увы, не получится -- она там не непрерывна ни в каком смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
del

(Оффтоп)

Какой я медлительный однако. Пока отвечал, ТС успел исправить, а ewert ещё и ответить.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:34 


06/04/11
495
ewert, ну да. В единице предел стремится к бесконечности..
Но maple всё-равно проинтегрировал.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
srm в сообщении #518852 писал(а):
Но maple всё-равно проинтегрировал.

А ему-то что: после формального интегрирования на пределах особенности уже не остаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:52 


06/04/11
495
ewert, не доходит. Чтобы функция была интенгрируема необходимо, чтобы существовал предел интегральной суммы. Верно? То есть подынтегральная функция может и не быть ограниченной - главное, чтобы предел интегральной суммы существовал (например, $\int_{-a}^a \frac{1}{x}dx$) Но как это связано с теоремой об ограниченности интегрируемой функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:57 


23/12/11
4
ewert в сообщении #518850 писал(а):
Inverse12 в сообщении #518848 писал(а):
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

Так вполне можно было бы сказать, будь это правдой. Но увы: вверху остаётся отнюдь не $\arctg a$.


почему? разве я не могу просто подставить кое-где x=1?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:57 


10/02/11
6786
srm в сообщении #518854 писал(а):
Чтобы функция была интенгрируема необходимо, чтобы существовал предел интегральной суммы. Верно? То есть подынтегральная функция может и не быть ограниченной - главное, чтобы предел интегральной суммы существовал (например, $\int_{-a}^a \frac{1}{x}dx$)


крикливые студенты не знают, что функция $1/x$ не интегрируема на $[-a,a]$

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 12:59 


06/04/11
495
Inverse12 в сообщении #518855 писал(а):
почему? разве я не могу просто подставить кое-где x=1?
нет, нельзя сначала подставлять пределы, а потом интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
ewert в сообщении #518850 писал(а):
Inverse12 в сообщении #518848 писал(а):
сказать, что в окрестности 1 функция $\frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} $ эквивалентна функции $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$, поэтому будем интегрировать её, так?

Так вполне можно было бы сказать, будь это правдой. Но увы: вверху остаётся отнюдь не $\arctg a$.

Да все правильно Inverse12 написал. Эквивалентность имеет место, интеграл от $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$ сходится, поэтому (в единице) сходится и исходный интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 13:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Inverse12 в сообщении #518855 писал(а):
разве я не могу просто подставить кое-где x=1?

Можете, у нас свободная страна. Только какое отношение это имеет к эквивалентности?...

srm в сообщении #518854 писал(а):
Чтобы функция была интенгрируема необходимо, чтобы существовал предел интегральной суммы. Верно? То есть подынтегральная функция может и не быть ограниченной - главное, чтобы предел интегральной суммы существовал

Вот совершенно не то есть. Для неограниченной функции предела не существует. Интегрируемость же в несобственном смысле -- это уже некоторая дополнительная надстройка над конструкцией определённого интеграла, понимаемого как предел интегральных сумм.

И при вычислении несобственного интеграла надо взять интеграл по суженному промежутку, а потом найти предел этого результата при условии, что концы промежутка стремятся к нулю и единице соответственно. Это формально говоря. Но фактически полученная после интегрирования функция концов промежутка оказывается определённой и в граничных точках, так что нахождение пределов сводится просто к подстановке границ в полученное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость интеграла
Сообщение23.12.2011, 13:22 


06/04/11
495
ewert в сообщении #518862 писал(а):
Интегрируемость же в несобственном смысле -- это уже некоторая дополнительная надстройка над конструкцией определённого интеграла, понимаемого как предел интегральных сумм.
Спасибо, понятно.

Вот, кстати, разбирается пример с функцией $\frac{1}{x}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group