Непорочные тройки (эту задачу не решил никто из участников)

[Ktina]

Натуральное число назовём непорочным, если вычисление суммы квадратов его цифр, повторённое достаточное количество раз, приводит к числу 1.
Например, число 1900 является непорочным, поскольку 1900->82->68->100->1.
Назовём тройку натуральных чисел непорочной, если все три числа в ней являются непорочными.

Доказать (не используя какую бы то ни было вычислительную технику), что существует бесконечно много непорочных троек вида (n-1, n, n+1)

[Cash]

(Оффтоп)

Цитата:

Доказать (не используя какую бы то ни было вычислительную технику), что существует бесконечно много непорочных троек вида (n-1, n, n+1)

Ну и как запретить? все равно что с допингом в спорте, или с компьютером в заочных шахматах...

Тройка 1880, 1881, 1882 подходит. Проверяется за минуту без всякой вычислительной техники. А дальше можно нолики между единицей и восьмеркой ставить...

[Ktina]

Cash в сообщении #518560 писал(а):

(Оффтоп)

Цитата:

Доказать (не используя какую бы то ни было вычислительную технику), что существует бесконечно много непорочных троек вида (n-1, n, n+1)

Ну и как запретить? все равно что с допингом в спорте, или с компьютером в заочных шахматах...

Тройка 1880, 1881, 1882 подходит. Проверяется за минуту без всякой вычислительной техники. А дальше можно нолики между единицей и восьмеркой ставить...

А я так сделала (без допинга):

Числа 129, 130 и 133 являются непорочными.
В таком случае любая тройка вида $(n-1, n, n+1)$, где $n=111\dots 111000\dots 001$ (129 единичек и мнооого нуликов) - непорочная.
А допинг - это для слабаков.

[Cash]

Без допинга я бы и до ваших 129, 130 и 133 не добрался бы :)))
А вообще - 1880, 1881, 1882 ненамного уж и сложнее, та же идея что и у вас
только вместо $129 =1^2+ \cdots + 1^2$ заметить, что $129 = 8^2+8^2+1^2$

[Sonic86]

(злостный оффтоп и пусть меня банят!)

Cash в сообщении #518560 писал(а):

Тройка 1880, 1881, 1882 подходит. Проверяется за минуту без всякой вычислительной техники.

Решение в стиле недетерминированной машины Тьюринга.

Cash в сообщении #518619 писал(а):

Без допинга я бы и до ваших 129, 130 и 133 не добрался бы :)))

Вот я знал, что решать нет смысла. И ведь перебрал руками до $10^3$. Так мне и надо!
Назовем задачу бессмысленной, если решение единственно, совпадает с решением автора и является решением недетерминированной машины Тьюринга, и для любого прочего решения, выписанного детерминированной машиной Тьюринга, существует решение грубой силы, короче чем выписанное прочее решение.

Задача не для слабаков: Найти верхнюю границу длины цепочек последовательных непорочных чисел.