Сколько пятизначных чисел можно составить?

[Shadow]

Ну откуда взялось $9.10^9$? Всего пятизначных чисел 90000. И никакой симетрии я не вижу. Есть тенденция
Первая цифра "специальная", среди остальных найдется другая.
$2.(10^4-9^4)$
Первая нет, вторая - да, среди остальных....
$7.2.(10^3-9^3)$
Первая нет, вторая нет, третья да....

[Shadow]

number_one в сообщении #518269 писал(а):

ввиду симметричности 2, 3, 4, 5 числа имеют схожие вероятности

Боюсь, Вы неправильно поняли (или я неправильно объяснил) принцип вычислений. p(3)-это не вероятность, что 3-я цифра специальная, а что первая специальная будет на 3-ей позиции. (Бросаем монету. Вероятность, что на 5-ом броске будет решка - понятно 0.5, но вероятность, что первая решка будет на 5-ом броске - совсем другое дело). Так и здесь: p(4) означает, что первая не будет, вторая не будет,3-я не будет, уже некуда - четвертая должна быть специальная и пятая - другая специальная.

[number_one]

Не очень понял пока что, буду думать

[gris]

Чего-то вы намудрили. Я сам задачу решил простым перебором всех пятизначных чисел, пока вчера пытался заснуть. Но можно решить и чисто комбинаторно, с использованием биномиальных коэффициентов, и рассуждением.
Если немного упростить условие: сколько пятизначных, в которых есть хотя бы одна двойка. Комбинаторно: $90000-8\cdot 9^4=37512$.
Рассуждением: 10000 чисел от 20000 до 29999. Да в каждой из оставшись 8 десятитысячных групп с первой цифроq не 0 и не 2 — 1000 чисел со второй двойкой. Да в каждой из девяти тысячных групп 100 чисел с третьей двойкой. Да в каждой из девяти сотен 10 чисел с четвёртой двойкой, да в каждом десятке 1 двойка. Итого
$ 10000+8\cdot (1000+9\cdot (100+9\cdot (10+9\cdot 1)))=37512$.
Ура, сошлось!
В силу равносильности 2 и 4 в данной задаче, количество пятизначных чисел с по крайней мере одной чеnвёркой тоже равно $37512$.
Ну а дальше круги Венна и обобщение задачи
Сколько существует пятизначных чисел, в которых есть все цифры

[number_one]

gris в сообщении #518396 писал(а):

Чего-то вы намудрили. Я сам задачу решил простым перебором всех пятизначных чисел, пока вчера пытался заснуть. Но можно решить и чисто комбинаторно, с использованием биномиальных коэффициентов, и рассуждением.
Если немного упростить условие: сколько пятизначных, в которых есть хотя бы одна двойка. Комбинаторно: $90000-8\cdot 9^4=37512$.
Рассуждением: 10000 чисел от 20000 до 29999. Да в каждой из оставшись 8 десятитысячных групп с первой цифроq не 0 и не 2 — 1000 чисел со второй двойкой. Да в каждой из девяти тысячных групп 100 чисел с третьей двойкой. Да в каждой из девяти сотен 10 чисел с четвёртой двойкой, да в каждом десятке 1 двойка. Итого
$ 10000+8\cdot (1000+9\cdot (100+9\cdot (10+9\cdot 1)))=37512$.
Ура, сошлось!
В силу равносильности 2 и 4 в данной задаче, количество пятизначных чисел с по крайней мере одной чеnвёркой тоже равно $37512$.
Ну а дальше круги Венна и обобщение задачи
Сколько существует пятизначных чисел, в которых есть все цифры

Спасибо, вот это я понял теперь!

Только вот что с кругами Венна делать?

$A=\{\text{хотя бы одна двойка}\}$

$B=\{\text{хотя бы одна четверка}\}$

То, что я напишу сейчас -- очень сомнительно

$A\cdot B=\{\text{и А, и В}\}$

$A\cdot B=37512\cdot 37512$

Должно получится число, которое меньше $37512$, предположительно, что в несколько раз, как минимум -- в два, как максимум в $A_{10}^2$ раз

[gris]

Я уже писал, что в случае двух цифр множество пятизначных чисел можно разделить на четыре не пересекающихся подмножества:
Содержащих хотя бы одну 2, но ни одной 4.
Хотя бы одну 4, но ни одной 2.
Не содержащее ни 2, ни 4.
Содержащее хотя бы одну 2 и хотя бы одну 4.
Чисто комбинаторно легко посчитать мощность первых трёх. Ну а как дополнение и четвёртого, которое Вам и надо найти.

[number_one]

gris в сообщении #518485 писал(а):

Я уже писал, что в случае двух цифр множество пятизначных чисел можно разделить на четыре не пересекающихся подмножества:
Содержащих хотя бы одну 2, но ни одной 4.
Хотя бы одну 4, но ни одной 2.
Не содержащее ни 2, ни 4.
Содержащее хотя бы одну 2 и хотя бы одну 4.
Чисто комбинаторно легко посчитать мощность первых трёх. Ну а как дополнение и четвёртого, которое Вам и надо найти.

Спасибо.

Если все 4 сложить -- должно получится $N=90 000$

Не содержащее ни 2, ни 4. Это $N_1=7\cdot 8^4=28 672$

Содержащих хотя бы одну 2, но ни одной 4. $N_2$
Хотя бы одну 4, но ни одной 2. $N_3$

Содержащее хотя бы одну 2 и хотя бы одну 4. $N_4$

$N_4=N-N_1-N_2-N_3$

Пока что не понятно -- как искать $N_2$.

Содержащих хотя бы одну 2 -- это мы посчитали.

ни одной 4 -- это $8\cdot 9^4=52 488$

Пока не понятно -- как пересечь "хотя бы одну 2" и "ни одной 4"

[number_one]

(Оффтоп)

Еще очень интересно узнать -- как решить с использованием биномиальных коэффициентов?