подходящие дроби и уравнение Пелля

[Spandei]

Доказать, что одна из двух соседних подходящих дробей к $\sqrt{2}$ дает решение уравнения Пелля $x^{2}-2y^{2}=1$
Сначала разложим $\sqrt{2}$ в подходящую дробь:
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}$
Соотношения для подходящих дробей:
$P_{i}=2P_{i-1}+P_{i-2}$
$P_{i}=2Q_{i-1}+Q_{i-2}$
$P_{-1}=1, P_{0}=2, Q_{-1}=0, Q_{0}=1$
Первые четыре подходящие дроби будут:
$\frac{P_{0}}{Q_{0}}=1$ $\frac{P_{1}}{Q_{1}}=\frac{3}{2}$, $\frac{P_{2}}{Q_{2}}=\frac{7}{5}$, $\frac{P_{3}}{Q_{3}}=\frac{17}{12}$
Видим, что при подстановке числителя дроби в качестве x, а знаменателя в качестве y получим для первой дроби -1, а для второй 1. Можно заметить, что далее эти значения будут чередоваться.
Чтобы решить в общем виде, нам нужно доказать:
для любого четного i $P_{i}^{2}-2Q_{i}^{2}=-1, a P_{i+1}^{2}-2Q_{i+1}^{2}=1$
Доказываем по ММИ:
1) для i=0 доказали
2) предположим, что для i-2 соотношения верны, рассмотрим i
$P_{i}^{2}-2Q_{i}^{2}=(2P_{i-1}+P_{i-2})^{2}-2(2Q_{i-1}+Q_{i-2})^{2}=4(P_{i-1}^{2}-2Q_{i-1}^{2})+4(P_{i-1}P_{i-2}-2Q_{i-1}Q_{i-2})+(P_{i-2}^{2}-2Q_{i-2}^{2})$
Значения первой и последней скобок мы знаем из предположения ММИ.
А вот со средней скобкой беда, никак не получить значение, я пытался выразить опять же через предположение, но там появляются корни, у меня ничего не выходит путного.

[Spandei]

Придумал как решить гораздо проще
скажите только пожалуйста, у цепной дроби вида [1,{2}] период 1 или 2?

[Sonic86]

Можно предварительно по индукции доказать формулу $P_{i-1}P_{i-2}-2Q_{i-1}Q_{i-2}=(-1)^{i+1}$ с помощью тех же рекуррентных соотношений.
upd: вру, надо одновременно обе формулы доказывать (прикольно! хотели доказать одну, а доказали две).
Может это даже общее для $P_i; Q_i$ свойство, поскольку я таких сложностей не помню, когда Бухштаба читал (можете в него заглянуть - там есть цепные дроби, аж 2 главы).
upd2: посмотрел в Бухштабе. Соотношение $P_{i-1}P_{i-2}-2Q_{i-1}Q_{i-2}=(-1)^{i+1}$ действительно является общим для всех цепных дробей, доказывается по индукции (при выполнении шага индукции нужно использовать переобозначение. А то, что я написал, это значит бредятина)

Spandei в сообщении #518349 писал(а):

скажите только пожалуйста, у цепной дроби вида [1,{2}] период 1 или 2?

Ответ тривиален, включите логику (предпериод роли не играет)

[Spandei]

Уже все решил аж двумя способами)
Спасибо