ДУ: стремление к нулю влечёт устойчивость

[Jinny]

Рассматривается система $\dot x = f(t,x)$ и нулевое решение ($f(t,0) \equiv 0$).
Есть ли какие-то известные достаточные условия того, что из стремления решений к нулю $\lim\limits_{t\to +\infty} x(t;x_0)$ для всех малых по норме начальных данных $x_0$ следует устойчивость нулевого решения по Ляпунову?

[VPro]

Например, монотонность по времени нормы решений.

[srm]

Jinny в сообщении #518077 писал(а):

Рассматривается система $\dot x = f(t,x)$ и нулевое решение ($f(t,0) \equiv 0$).
Есть ли какие-то известные достаточные условия того, что из стремления решений к нулю $\lim\limits_{t\to +\infty} x(t;x_0)$ для всех малых по норме начальных данных $x_0$ следует устойчивость нулевого решения по Ляпунову?

Вообще говоря, стремление решения к нулю не является ни достаточным, ни необходимым условием для наличия устойчивости по Ляпунову. Решение может сходиться к нулю, но система, при этом, может являться неустойчивой по Ляпунову.
Тут можно либо исследовать устойчивость соответствующей линейной системы (если $x_0$ достаточно мало), либо подобрать хорошую функцию Ляпунова. Насколько я понимаю, стремление решения к нулю вообще ничего не даёт...

-- Ср дек 21, 2011 18:47:06 --

VPro в сообщении #518107 писал(а):

Например, монотонность по времени нормы решений.

Это, по сути, второй метод Ляпунова. А у Jinny к нулю стремится не норма, а сами значения.

[Jinny]

VPro в сообщении #518107 писал(а):

Например, монотонность по времени нормы решений.

Ну так это не легче проверить.

srm в сообщении #518109 писал(а):

Насколько я понимаю, стремление решения к нулю вообще ничего не даёт...

Я надеюсь, что всё-таки оно доставляет специфические условия устойчивости...

srm в сообщении #518109 писал(а):

А у Jinny к нулю стремится не норма, а сами значения.

Так это ж и значит, что норма стремится к нулю.

Скажем,

$\frac{d}{dt} \| x \|^2 = 2\langle x, f(t,x) \rangle \leqslant 0 $

даёт монотонность норм. Но не слишком ли оно сильное, это условие? Есть ещё что нибудь?

[VPro]

Jinny в сообщении #518112 писал(а):

VPro в сообщении #518107 писал(а):

Например, монотонность по времени нормы решений.

Ну так это не легче проверить.

Вы же спросили про "какие-то"... Кто же знает, что Вам легко проверить. Может, действительно, легче функцию Ляпунова построить...

[Jinny]

VPro в сообщении #518118 писал(а):

Вы же спросили про "какие-то"... Кто же знает, что Вам легко проверить. Может, действительно, легче функцию Ляпунова построить...

За такое условие Вам спасибо Тем более, что оно как условие на функцию хорошо записывается (я там записал). Ещё бы какие-нибудь условия найти.

[srm]

Jinny в сообщении #518112 писал(а):

Так это ж и значит, что норма стремится к нулю.

Во-первых, смотря что понимать под "нормой". Во вторых,
Вопрос в том: как стремится? Может стремиться так, что уравнение будет неустойчивым по Ляпунову.

Мне кажется, что для строгого доказательства нужно либо из второго (или первого) метода Ляпунова выводить свойства специфичные для вашего случая. А это означает, что придётся строить функцию Ляпунова. То есть, в любом случае, без функции Ляпунова не обойтись. Ну.. разве что проанализировать соответствующую линейную систему, доказать что матрица Якоби будет Гурвицевой.

[VPro]

В принципе, Вам нужно условие невыхода решения из $\varepsilon$-трубки, если оно уже туда попало. Все остальное для наличия устойчивости обеспечит условие стремление траекторий к нулю. Вот и смотрите. Конечно, условие монотонности здесь слишком сильное. Как Вы показали, оно равносильно тому что $||x||^2$ является функцией Ляпунова для системы.

[srm]

VPro в сообщении #518130 писал(а):

В принципе, Вам нужно условие невыхода решения из -трубки, если оно уже туда попало.

Поправлю: из трубки любого положительного радиуса.

-- Ср дек 21, 2011 19:33:07 --

VPro в сообщении #518130 писал(а):

Конечно, условие монотонности здесь слишком сильное.

Да. Кроме того, речь идёт об устойчивости по Ляпунову, а не об асимптотической устойчивости.

Кстати да! Для линейных систем экспоненциальное приближение каждого решения к нулю является необходимым и достаточным условием. Если система линеаризается в $x_0$ окрестности точки $x=0$ и каждое решение экспоненциально убывает, то и исходная система будет устойчивой.

[Jinny]

srm в сообщении #518131 писал(а):

Да. Кроме того, речь идёт об устойчивости по Ляпунову, а не об асимптотической устойчивости.

В данном случае это одно и то же. Если будет просто устойчивость, то стремление есть по условию.

[srm]

Jinny в сообщении #518134 писал(а):

В данном случае это одно и то же. Если будет просто устойчивость, то стремление есть по условию.

Я к тому, что асимптотическая устойчивость - более сильное условие, которое в рамках данной задачи (как я понял) доказывать не нужно. Так что толку от сходимости решения к нулю мало. Всё равно с перва нужно доказывать устойчивость по Ляпунову.

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #518127 писал(а):

Во-первых, смотря что понимать под "нормой". Во вторых,

не все крикливые студенты знают, что в конечномерном пространстве все нормы эквиваленты

-- Ср дек 21, 2011 19:03:33 --

Jinny
если у Вас система конкретная ,то может правильней выложить ее сюда

[srm]

Oleg Zubelevich в сообщении #518140 писал(а):

что в конечномерном пространстве все нормы эквиваленты

при этом одна норма может сходиться к нулю монотонно, друга - нет.

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #518149 писал(а):

норма может сходиться к нулю монотонно

мощно задвинул.. внушает

[zhoraster]

Oleg Zubelevich, устное замечание за хамство. srm, устное замечание за бессодержательное сообщение.