винтовая линия на основе винтовой линии

[Idol_111]

Винтовая линия - линия, описываемая точкой M, которая вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной оси (Oz) и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью v вдоль этой оси.
Параметрические уравнения:
$x = a \cos(wt); y = a \sin(wt); z = vt$

А если ось Oz не неподвижна, а тоже является винтовой линией, как записать уравнение?

[Idol_111]

Вот нашел кое-что. Насколько это правильно? (Я понимаю, что это приближенная формула.)
$(R-\sqrt{x^2 + y^2})^2 + (z + \frac{P \arctg(x/y)}{\pi})^2 = r^2$
$P $- скорость движения по оси z.
R - большой радиус (второй винтовой линии)
r - малый радиус (первой винтовой линии)

[Circiter]

Можно попробовать выводить с использованием криволинейных координат, имхо...

[Idol_111]

Circiter в сообщении #517526 писал(а):

Можно попробовать выводить с использованием криволинейных координат, имхо...

Еще бы формулу увидеть или ссылку какую-нибудь, было бы совсем замечательно.

[Circiter]

Ну формализм криволинейных координат излагается во многих источниках, например в учебниках/справочниках по дифференциальной геометрии. Это полезный инструмент в случае когда уравнение уже известно (а уравнение винтовой линии вам известно), но оси координат сами задаются произвольными функциями (у вас ось аппликат удовлетворяет уравнению винтовой линии).

А можно пойти простым путем и погуглить superhelix equation, наверняка где-то уже выписано.

[Padawan]

http://dxdy.ru/post283166.html

[Circiter]

(Оффтоп)

Вот по какому алгоритму подсовывание списка похожих тем внизу страницы работает? Текущая тема и тема, указанная Padawan'ом имеют почти одинаковые заголовки, но движок форума не видит сходства. :)

[Idol_111]

Спасибо за ссылку.
Уравнение будет иметь вид:

$ x = (R+r \cos (wt))\cos t \\ y = (R+r \cos (wt))\sin t \\ z = vt + r\sin(wt) $

А каковы будут уравнения если будет три вложения, а не два как в данном случае?
Я не совсем уловил, как получились уравнения выше.

В комменте выше я приводил формулу, которую нашел здесь. Там говориться, что формула не совсем правильная. Я не доконца понял, это формула не верна математически или когда речь идет о расчете чего-то реального (как пружина) и тогда в практическом плане формула лишь приблизительна?

[Circiter]

Указанная вами ссылка, если я не ошибаюсь, описывает совсем другой объект, а именно результат лофтинга окружности вдоль винтовой линии. Т.е. поверхность скрученного в спираль цилиндра. А неточность формулы возникает из-за, образования складок на такой поверхности при некоторых значениях её параметров (попробуйте изготовить спираль из бумажной трубки -- без морщин не получится, только с трубкой из резины). Upd. Это лишь предположение. На самом деле, может быть там просто численная неточность имелась ввиду.

[Idol_111]

Circiter в сообщении #517931 писал(а):

Указанная вами ссылка, если я не ошибаюсь, описывает совсем другой объект, а именно результат лофтинга окружности вдоль винтовой линии. Т.е. поверхность скрученного в спираль цилиндра. А неточность формулы возникает из-за образования складок на такой поверхности при некоторых значениях её параметров (попробуйте изготовить спираль из бумажной трубки -- без морщин не получится, только с трубкой из резины).

Вы абсолютно правы. Однако, функции выше (по этой ссылке) идентичны функциям по этой ссылке, которая описывает, как раз винтовую линию в винтовой линии (почему то она названа Slinky). Это то меня и ввело в заблуждение. Раз первичные функции одни и те же, то и выводы из них должны подходить.

И значит математически интересующая меня функция правильная, или все же нет?

[Circiter]

Что-то для меня не очевидна эта идентичность. :) А правильные формулы у Padawan'а и в той статье про slinky-игрушку.

Кстати, что вам мешает сразу же проверять нужные вам уравнения построением графиков (например в gnuplot'е)?

[Idol_111]

Idol_111 в сообщении #517902 писал(а):

$ x = (R+r \cos (wt))\cos t \\ y = (R+r \cos (wt))\sin t \\ z = vt + r\sin(wt) $

Попробовал построить в Microsoft Mathematics, получилась ерунда. То ли программа глючит, то ли формулы не верны.

[vvvv]

Формула верная, нужно задать соответствующие параметры.
Можно построить и тройную винтовую. См.картинку.

[Idol_111]

vvvv в сообщении #539160 писал(а):

Формула верная, нужно задать соответствующие параметры.
Можно построить и тройную винтовую. См.картинку.

Супер! Так подскажите как, пожалуйста. Я перепробовал все возможные параметры (тем более что программа сама их меняет динамически).
Очень хочется увидеть формулы для тройной.
Заранее благодарен.

-- 16.02.2012, 23:55 --

Вот что получается для двойной.

[vvvv]

Двойная в Маткаде
http://savepic.su/1427734.htm