Последовательность сходящаяся по одной норме и не сх.по друг

[zluka]

Требуется привести пример последовательности сходящейся в норме
$||f||=\max|f|+\max|f'| $
и не сходящейся по норме
$||f||=\max|f|+\max|f'|+(\int_0^1{||f''(x)||^2dx})^\frac{1}{2} $
Предлагаю взять последовательность
$\frac{\sin(nx)}{n^\frac{3}{2}}$
Если последовательность сходится по норме то она ограничена (верно ведь?)
Теперь коли так, то в первой норме
$\max(|f|)<\frac{1}{n^\frac{3}{2}}$
$\max(|f|)<\frac{1}{n^\frac{1}{2}}$
То есть норма всех элементов последовательности стремится к 0 и тогда f->0
Во второй же норме последнее слагаемое (интеграл) больше чем$
$n^\frac{1}{2} \int_0^1{\sin(nx)^2}dx=(n(\frac{1}{2}-\frac{\cos(2nx)}{4n}))^\frac{1}{2} \to \infty$
Собственно вопрос не допустил ли я где-нибудь логической ошибки. И корректны ли эти рассуждения?