Субгармоничность

[Falex]

Что значит,что некоторая функция $f(z)$ субгармонична в любой области, включенной в $\Bbb C \setminus \Gamma$, где
$\Gamma$ - некая кривая из $\Bbb C$?
Я понимаю,что это означает,что функция $f(z)$ достигает своего максимума вблизи $\Gamma$.Так ли я думаю?

[Someone]

Если функция $F(x,y)$ принадлежит клаccу $\mathbb C^2$, то субгармоничность означает, что $\Delta F(x,y)\geqslant 0$. Так написано в математической энциклопедии. Аналогично - для функций любого числа переменных.

[RIP]

С различными определениями субгармонической функции можно познакомиться, например, по книжке Привалов И.И. — Субгармонические функции

[Falex]

Спасибо.Буду читать.

Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды:

Вопрос е в тему здесь,но просто срочно нужент.Нашел эту книгу здесь: http://lib.org.by/_djvu/M_Mathematics/M ... 0variable/
но доступ запрещен...почему..не знаю!

[Brukvalub]

Скорее всего, доступ закрыт (и довольно давно закрыт) из-за очередных притязаний жаднюг-капиталистов на не принадлежащие им авторские права на математические книги. Попробуйте поискать здесь http://www.poiskknig.ru/ - очень эффективная штука!

[Falex]

Brukvalub спасиб.Я там и искал.нашел естественно в другом месте.Просто было интересно насчет этого сайт ))

[Falex]

Точно.Вы правы:вычитал критерий субгармноничности: $\Delta F \ge 0$.
Тогда возникает такой вопрос: а такая функция является субгармонической в любой области, включенной в ${\Bbb C} \setminus \Gamma$: ($z \notin \Gamma$)
$F(\Gamma;z) = \int_{\Gamma}\Big|Im{\tau(\zeta) \over \zeta - z}\Big||d\zeta|$,где
$\tau(\zeta)$ - единичный вектор касательной к $\Gamma$ в точке $\zeta$.
$\Gamma =\{\zeta:\; \zeta=Z_{\Gamma}(s),\; s\in [0,|\Gamma|]\}$ - параметр. кусочно-гладкая кривая с натуральным параметром $s$.

[RIP]

Falex писал(а):

Тогда возникает такой вопрос: а такая функция является субгармонической в любой области, включенной в ${\Bbb C} \setminus \Gamma$: ($z \notin \Gamma$)
$F(\Gamma;z) = \int_{\Gamma}\Big|Im{\tau(\zeta) \over \zeta - z}\Big||d\zeta|$

Функция $f(z,\zeta)=Im\frac{\tau(\zeta)}{\zeta-z}$ является при фиксированном $\zeta$ гармонической функцией по $z$ как мнимая часть аналитической функции, поэтому функция $|f(z,\zeta)|$ - субгармоническая по $z$, другими словами, при каждом $z\notin\Gamma$ и всех достаточно малых $r>0$ (конкретно: при $r$ меньших расстояния от точки $z$ до носителя кривой $[\Gamma]$) имеем

$$|f(z,\zeta)|\leqslant\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f(z+re^{i\varphi},\zeta)|\,d\varphi$$

Интегрируя это неравенство по $\zeta$ получаем

$$\int\limits_{\Gamma}|f(z,\zeta)||d\zeta|\leqslant\int\limits_{\Gamma}\left(\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f(z+re^{i\varphi},\zeta)|\,d\varphi\right)|d\zeta|.$$

Используя теорему Фубини, переписываем это в виде

$$\int\limits_{\Gamma}|f(z,\zeta)||d\zeta|\leqslant\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\left(\int\limits_{\Gamma}|f(z+re^{i\varphi},\zeta)||d\zeta|\right)\,d\varphi$$

т.е.

$$F(z)\leqslant\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}F(z+re^{i\varphi})d\varphi.$$

Это и означает, что функция

$$F(z)=\int\limits_{\Gamma}\left|Im\frac{\tau(\zeta)}{\zeta-z}\right||d\zeta|$$

является субгармонической (там, где надо.)

На всякий случай, я использовал такое определение непрерывной субгармонической функции:
Непрерывная в области $G\subset\mathbb{C}$ функция $u\colon G\to\mathbb{R}$ называется субгармонической (в области $G$), если для любого $z\in G$ и для всех $r\in(0;r_0)$ (где $r_0>0$ зависит от точки $z$) выполняется неравенство

$$u(z)\leqslant\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u(z+re^{i\varphi})\,d\varphi.$$

[Falex]

RIP спасибо:днем посмотрю.

[Falex]

А носителем кривой $\Gamma$ может быть сама кривая $\Gamma$,и в качестве расстояния до носителя взять $\rho(z,\Gamma)$.

[RIP]

Falex писал(а):

А носителем кривой $\Gamma$ может быть сама кривая $\Gamma$,и в качестве расстояния до носителя взять $\rho(z,\Gamma)$.

Да, носитель кривой это сама кривая. Просто я под кривой привык понимать класс эквивалентности путей, а ту "кривульку", которая рисуется, называть носителем кривой.

[Falex]

По ходу такой вопрос о корректности: можно ли так говорить:

Цитата:

Если $\Gamma^{\prime}$ непрерывна, то ...

Т.е. под этим подразумевается (очевидно), что функция $Z_{\Gamma}(s)$ непрерывна при $s \in [0,|\Gamma|]$.

P.S:а можно утверждать, что функция $F(\Gamma;z)$ является целой?!

[RIP]

Falex писал(а):

По ходу такой вопрос о корректности: можно ли так говорить:

Цитата:

Если $\Gamma^{\prime}$ непрерывна, то ...

Т.е. под этим подразумевается (очевидно), что функция $Z_{\Gamma}(s)$ непрерывна при $s \in [0,|\Gamma|]$.

P.S:а можно утверждать, что функция $F(\Gamma;z)$ является целой?!

А что означает $'$ при $\Gamma'$? Имеется в виду, что $Z_{\Gamma}(s)$ непрерывно дифференцируема?

$F(\Gamma;z)$ целой быть ну никак не может, она даже не голоморфная, т.к. вещественнозначная и непостоянная. По поводу того, как она себя ведет вблизи кривой, затрудняюсь ответить. Тут надо думать, а думать я не люблю.

[Falex]

Цитата:

непрерывно дифференцируема?

Да.Забыл написать дифференцируема!