Простая задачка

[bot]

Эта задачка с той же Олимпиады, что и фальшивые монеты
Очень простая, но ...

Пусть натуральное n таково, что каждое из трёх чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Доказать, что n делится на куб некоторого своего простого делителя.

P.S. На разборе чувствовал себя неуютно, ожидая каверзного вопроса. Обошлось.

[Руст]

Если бы это было не так, то n был бы точным квадратом безквадратного нечётного числа, т.е. $n=(p_1p_2..p_k)^2$ p_i различные нечётные простые числа. В разложении 2 отсутствует, так как иначе n+2 делится на 2, но не делится на 4. Тогда n+1=2(mod 8) не делится на квадрат 2.

[RIP]

bot писал(а):

P.S. На разборе чувствовал себя неуютно, ожидая каверзного вопроса. Обошлось.

Рискну предположить, что "каверзный вопрос" звучит примерно так: "привести пример такого числа $n$". Со всеми вытекающими.

[нг]

Странно Вы выбрали подфорум, bot. Перемещаю.

[Батороев]

bot писал(а):

Пусть натуральное n таково, что каждое из трёх чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Доказать, что n делится на куб некоторого своего простого делителя.

Если я правильно понял условие задачи, то:
1. Т.к. все указанные числа делятся на квадрат любого своего простого делителя, соответственно, каждое из чисел - есть произведение, как минимум, квадратов своих простых делителей.
2. Из трех чисел одно или два должно(ны) быть четным(ми). Если n - четное и делится на 4(квадрат 2-х), то n+2 не может делиться на 4 и наоборот, следовательно, четное n+1 и оно должно делиться на 4. Можно записать n=3 mod(4), (n+1) = 0 mod(4), (n+2) = 1 mod(4).
3. Т.к. квадраты нечетных чисел по основанию 4 могут иметь остаток только 1mod(4), то n - не может быть произведением только квадратов своих простых делителей. Учитывая выделенное в п.1, делаем вывод, что, как минимум, один делитель представлен в n, как минимум, 3-ей степенью.

[bot]

RIP писал(а):

Рискну предположить, что "каверзный вопрос" звучит примерно так: "привести пример такого числа $n$". Со всеми вытекающими.

Именно. Нет проблем построить бесконечное множество пар последовательных чисел, удовлетворяющих условию. Скажем, устроят пары $(8y^2, x^2)$ из уравнения Пелля $x^2-8y^2=1$, а вот по поводу троек не уверен, что их есть.
Хотя, чем чёрт не шутит, я ведь не пробовал комбиначить два Пеллеобразных уравнения.

Сначала поместил задачку в олимпиадный раздел, а потом подумав, стёр и поместил в дискуссионные и вот она снова здесь. А в дискуссионные поместил потому, что задачка-то тривиальная и вопрос у меня теперь следующий: стоит ли давать подобные задачи на Олимпиаде?
Это ведь всё-таки не изучение нечётных совершенных чисел.
И зачем эти тройки, скажите? Да всего лишь навсего, чтобы отмести случай чётного n. Право лучше бы сформулировать для пар, а чётный случай убрать менее мощным способом, да хотя бы и просто задать в условии, что n нечётно - ну не убыло бы от задачи вычеркивание совсем уж примитивного случая. А с примером непустоты тут всё-таки полегче было бы: $n=26^2-1$.