Ко- и контравариантность

[Joker_vD]

Что-то я не соображу... Пусть у нас есть две системы координат $(x^1,\ldots,x^n)$ и $(x^{1'},\ldots,x^{n'})$, связанные заменой $x^i=x^i(x^{1'},\ldots,x^{n'}),\; i=\overline{1,n}$.

Берем в точке $(x^1_0,\ldots,x^n_0)$ контравариантный тензор первого ранга $(\xi^1,\ldots,\xi^n)$. Его компоненты при переходе к штрихованным координатам выражаются как

$$\xi^i = \frac{\partial x^i}{\partial x^{j'}}\bigg\rvert_{x^{k'}=x^k_0} \xi^{j'}.$$

В матричной форме это выглядит как $\xi = \hat J \xi'$, где $\hat J = \left(\dfrac{\partial x^i}{\partial x^{j'}}\right)$ — матрица Якоби нашей замены координат.

Вопрос — почему это называется контравариантностью? Ведь для ковариантного тензора $(\eta_1,\ldots,\eta_n)$ преобразование компонент к $(\eta_{1'},\ldots,\eta_{n'})$ выглядит куда как сложнее: $\eta=(\hat J^T)^{-1} \eta'$.

[svv]

Для ковариантного выглядит чуть иначе, но едва ли сложнее:

$$\eta_i = \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\,\eta_{j'}\;,$$

так как элементы матрицы $\hat J ^{-1}$ -- это производные $\dfrac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}$ :

$$\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j'}}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{k}}=\delta^i_k \;.$$

По поводу терминологии поищу хорошую цитатку (где-то видел).

-- Вт дек 20, 2011 01:50:25 --

Если контра, то по отношению к чему? Возможно, ответ таков: по отношению к закону преобразования базисных векторов, который может считаться первичным:

$$\mathbf{e}_i = \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{i}}\; \mathbf{e}_{j'}\;.$$

[svv]

Да, точно. Вот эта цитата:

Цитата:

Эти взаимно противоположные законы преобразования в более старой литературе именуются "контраварантными" и "ковариантными". То, что мы называем просто векторами, раньше называли "контравариантными векторами", поскольку закон преобразования их компонент противоположен ("контра"!) закону преобразования базисных векторов. Аналогично один-формы назывались "ковариантными векторами", поскольку их компоненты преобразуются так же, как базисные векторы.

(Б. Шутц, Геометрические методы математической физики, с. 82)

[alcoholist]

(Оффтоп)

Joker_vD, простите великодушно за оффтоп... Но почему
Вы пишите штрихи не у переменных, а у индексов?-)

Визуально штрих воспринимается тут как перестановка на множестве $n$ элементов.

[svv]

(alcoholist)

Иногда нет другого выхода, например в матрице перехода: $\mathbf{e}_i = a^{j'}_{i} \mathbf{e}_{j'}\;.$

Вообще-то именно индекс, а не набор компонент, относится к тому или иному базису. Никто не мешает взять такое разложение: $\mathbf{B}=B^{i'k}\;\mathbf{e}_{i'} \otimes \mathbf{e}_k$

[alcoholist]

(Оффтоп)

svv в сообщении #517643 писал(а):

Иногда нет другого выхода, например в матрице перехода: $\mathbf{e}_i = a^{j'}_{i} \mathbf{e}_{j'}\;.$

Вообще-то именно индекс, а не набор компонент, относится к тому или иному базису. Никто не мешает взять такое разложение: $\mathbf{B}=B^{i'k}\;\mathbf{e}_{i'} \otimes \mathbf{e}_k$

Ну уж нет)) Индексы эти немые... И в одном базисе $n$ штук векторов и в другом столько же. Вашу первую формулу записывают же $e_i=a^j_ie'_j$... разве нет? Суммирование же происходит по индексам:

$$ e_i=\sum_{j'}a_i^{j'}e_{j'} $$

это нонсенс

[svv]

$$T^{i'_1...i'_p}_{j'_1...j'_q} = \sum\limits_{(i),(j)} T^{i_1...i_p}_{j_1...j_q}\frac{\partial x^{i'_1}}{\partial x^{i_1}}... \frac{\partial x^{i'_p}}{\partial x^{i_p}} \frac{\partial x^{j_1}}{\partial x^{j'_1}}... \frac {\partial x^{j_q}}{\partial x^{j'_q}}$$

(Современная геометрия)

[Munin]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #517652 писал(а):

Индексы эти немые...

Немые, но часто не произвольные - используются разные буквы (из разных мест алфавита, греческие), с разными пометками, чтобы передать дополнительную информацию.

[Joker_vD]

svv
Вот оно как. Спасибо. Но вообще говоря, мозголомно — закон преобразования базисных векторов имеет ковариантный вид, а закон преобразования компонент вектора имеет контравариантный вид... Ох-хо-хо.

Кстати, никто не знает хорошего обозначения для тензора типа $(p,q)$? Я видел, как для этого использовали буквы с $p$ надчеркиваниями и $q$ подчеркиваниями (например, тензор с компонентами $g_{ij}$ обозначался бы как $\underline{\underline{g}}$, тензор с компонентами $A^i_j$ — как $\underline{\overline{A}}$ и т.д.), но что-то оно мне не очень...

[svv]

Joker_vD писал(а):

закон преобразования базисных векторов имеет ковариантный вид, а закон преобразования компонент вектора имеет контравариантный вид

А закон преобразования компонент как раз проистекает из того, что сам Его Величество вектор (тензор и т.п.) есть инвариант, например:

$$\mathbf{T}= T^{ij}\; \mathbf{e}_i \otimes\mathbf{e}_j = T^{k'm'}\;\mathbf{e}_{k'} \otimes\mathbf{e}_{m'}$$

Теперь, если $\mathbf{e}_i =a^{k'}_{i}\; \mathbf{e}_{k'}$ (это "ко"), то для приведенного равенства необходимо

$$T^{ij} =b^i_{k'} \;b^j_{m'}\; T^{k'm'}\, ,$$

где $b^i_{k'} $ -- элементы матрицы, обратной к $(a^{k'}_i)$ , отсюда и "контра":

$$b^i_{k'}\;a^{k'}_j = \delta^i_j \;.$$

Частные производные в законе преобразования -- вторичны, они появляются там потому, что (или "тогда, когда") в качестве базиса берутся координатные векторы: $\mathbf{e}_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$ , вот так:

$$\mathbf{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{\partial x^{k'}}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial x^{k'}} = \frac{\partial x^{k'}}{\partial x^i} \;\mathbf{e}_{k'}\;.$$

Но исходный пункт, из которого вытекают все законы преобразования компонент -- закон преобразования базиса $\mathbf{e}_i =a^{k'}_{i}\; \mathbf{e}_{k'}$ , ну, и инвариантность самого тензора.

[Munin]

Joker_vD в сообщении #518103 писал(а):

Но вообще говоря, мозголомно — закон преобразования базисных векторов имеет ковариантный вид, а закон преобразования компонент вектора имеет контравариантный вид...

Да ладно, привыкнете - и замечать не будете. Не сложнее, чем правостороннее/левостороннее движение.

Joker_vD в сообщении #518103 писал(а):

Кстати, никто не знает хорошего обозначения для тензора типа $(p,q)$?

Это пока нерешённый вопрос в части разработки математической нотации. Ищут разные варианты, пробуют, но пока нет. Изобретёте - войдёте в историю математики :-) Пока самое лучшее - это нотация с индексами, которые, кстати, можно и не понимать буквально как привязку к базису (метод абстрактных индексов). Чтобы испугаться, какие уродцы предлагаются как альтернатива, можно глянуть Пенроуза "Путь к реальности".