Из того, что последовательность не сходится к корню соответствующего уравнения, не следует, что он - обязательно точка неустойчивости, а только то, что последовательность в своё время не попала в нужную окрестность этого корня.
Всё это, может, и замечательно, однако не учитывает специфики итерированной функции

при

. Эта функция всегда монотонно возрастает от

до

, причём сначала выпукло вниз, потом выпукло вверх. Поэтому для уравнения

возможны, в принципе, один, два или три корня (но не менее одного и не более трёх). В интервале между любой парой соседних корней значения функции

лежат либо строго выше, либо строго ниже биссектрисы

и при этом монотонно возрастают. Это значит, что последовательности итераций определённой чётности для

, т.е. последовательности

монотонны, ограниченны и, следовательно, сходятся. Обозначим предельные точки как

и

; пусть

-- корень самой функции

.
Из монотонного убывания функции

следует, что

. Если одно из этих неравенств превращается в равенство, то и другое тоже должно быть фактически равенством (т.е. если итерации некоторой чётности неограниченно близко прижимаются к решению уравнения

, то это же в силу непрерывности вынуждены делать и итерации противоположной чётности). Все эти три точки являются корнями уравнения

. Отсюда, между прочим, вытекает и невозможность случая ровно двух корней, т.к. он был бы возможен лишь в при

или при

.
Если корень только один, то из соображений монотонности следует сходимость. Т.е. для расходимости
необходимо, чтобы уравнение

имело ровно три корня, причём средним из них тогда будет (единственный) корень

уравнения

. Оно же и
достаточно для расходимости, т.к. в этом случае при любом начальном приближении (кроме, конечно,

) последовательность чётных итераций сходится к одному из крайних корней -- опять же лишь из соображений монотонности. А из соображений выпуклости следует, что эти два случая разделяются значением производной

в точке

: в случае трёх корней эта производная будет строго больше единицы, в случае же одного корня -- меньше либо равна единицы. Однако в этой точке

, откуда и критерий сходимости в терминах производной
для этой конкретной функции.