Является ли ковариационной функцией

[ShMaxG]

Показать, что функция $\[C\left( t \right) = 1 - \frac{{\left| t \right|}}{{{t_0}}}\]$ при $\[\left| t \right| \le {t_0}\]$ и $\[C\left( t \right) = 0\] $ при $\[\left| t \right| \ge {t_0}\]$, является ковариационной функцией некоторого случайного стационарного процесса. Найти его спектральную плотность.

1. Функция $\[C\left( t \right)\]$ абсолютно интегрируема на всей числовой прямой.

2. Эта функция имеет в каждой точке односторонние производные.

Поэтому, существует функция $\[s\left( \nu \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\nu \tau }}C\left( t \right)dt} = \frac{{1 - \cos \nu {t_0}}}{{\pi {\nu ^2}{t_0}}}\]$ и $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu \tau }}s\left( \nu \right)d\nu } \]$.

Далее,

3. $\[{s\left( \nu \right)}\]$ является неотрицательной функцией.

4. $\[{s\left( \nu \right)}\]$ является абсолютно интегрируемой функцией.

Следовательно, функция $\[C\left( t \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса.

Все ли рассуждения верны, необходимы и достаточны для выяснения, является ли $\[C\left( t \right)\]$ ковариационной функцией? Есть некоторые сомнения в том, что пункты 2, 3 и 4 стоит рассматривать...

[_hum_]

ShMaxG в сообщении #517390 писал(а):

Есть некоторые сомнения в том, что пункты 2, 3 и 4 стоит рассматривать...

То есть, неотрицательность (п.3) вам не принципиальна? На что вы вообще опираетесь в своих соображениях о том, что данная функция является корреляционной?

[ShMaxG]

Согласно теореме Хинчина, непрерывная функция $ \[C\left( t \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. случайного процесса, тогда и только тогда, когда $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}dS\left( \nu \right)} \]$, где $\[{S\left( \nu \right)}\]$ - непрерывная слева, монотонно неубывающая, ограниченная функция. Если эта функция является абсолютно непрерывной, т.е. существует неотрицательная абсолютно интегрируемая функция $\[s\left( \nu \right)\]$ такая, что $\[S\left( \nu \right) = \int\limits_{ - \infty }^\nu {s\left( t \right)dt} \]$, то $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}s\left( \nu \right)d\nu } \]$.

Поэтому, если существует неотрицательная абсолютно интегрируемая функция $\[s\left( \nu \right)\]$ такая, что $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}s\left( \nu \right)d\nu } \]$, то, согласно теореме Хинчина, непрерывная функция $\[C\left( t \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. случайного процесса.

Если функция $C(t)$ является абсолютно интегрируемой и имеет в каждой точке односторонние производные (сл-но непрерывна на всей числовой прямой), то согласно теореме из матанализа существует $\[s\left( \nu \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\nu t}}C\left( t \right)d\nu } \]$ и при этом $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}s\left( \nu \right)d\nu } \]$. Но возможно, что функция $\[{s\left( \nu \right)}\]$ не является неотрицательной, либо абсолютно интегрируемой, эти два пункта необходимо дополнительно проверять.

Просто на мгновение мне показалось, что неотрицательность и абсолютная интегрируемость так полученной функции $\[{s\left( \nu \right)}\]$ должны быть, но в этом я не уверен.

-- Пн дек 19, 2011 23:07:49 --

А еще в книгах по случайным процессам я не вижу упоминания о существовании односторонних производных во всех точках функции $\[C\left( t \right)\]$. Но для того, чтобы формулы обращения преобразования Фурье работали, в условии соответствующих теорем в книжках по матанализу требуется существования этих односторонних производных. Поэтому этот пункт у меня тоже вызывает некоторые сомнения.

[_hum_]

Ой, зачем односторонние производные... Может, просто взять более простую формулировку теоремы Бохнера-Хинчина (из Вентцеля "Курс теории случайных процессов"):
Теорема 2 (Бохнера-Хинчина). Для того чтобы функция $K(\tau), -\infty < \tau < \infty$, была непрерывной и неотрицательно определенной, необходимо и достаточно чтобы она представлялась в виде

$$K(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau \lambda}\mu (d\lambda),$$

где $\mu$ - конечная мера на $(-\infty,\infty)$.

[ShMaxG]

Нет, теорема Бохнера-Хинчина как раз используется для док-ва теоремы Хинчина, которую я привел. Односторонние производные здесь совсем ни при чем.

Другое дело, что имея $\[s\left( \nu \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\nu t}}C\left( t \right)dt} \]$ я должен быть уверен, что $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}s\left( \nu \right)d\nu } \]$, т.е. справедлива формула обращения. Я могу это проверить в лоб: вычислить интеграл справа, и если он равен $\[C\left( t \right)\]$, а $\[{s\left( \nu \right)}\]$ является абсолютно интегрируемой и неотрицательной, то все ОК, функция $\[C\left( t \right)\]$ -- ковариационная для некоторого с.п. Но считать еще один интеграл не хочу и поэтому обращаюсь к теореме, которая гарантирует такое равенство. А в условиях этой теоремы -- существование односторонних производных, про которые в моих книгах о случайных процессах ничего не написано (сказано лишь, что при абсолютной интегрируемости ковариационной функции $\[C\left( t \right)\]$ спектральная плотность существует и формула обращения справедлива). Я вот думаю, может быть существование односторонних производных это свойство функции $\[C\left( t \right)\]$ для стационарного процесса? Или, просто, на практике это свойство почти всегда бывает, поэтому о нем не пишут.

[_hum_]

Ничего не понял. Если вы исходите из этой теоремы

ShMaxG в сообщении #517439 писал(а):

Непрерывная функция $ \[C\left( t \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. случайного процесса, тогда и только тогда, когда $\[C\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}dS\left( \nu \right)} \]$, где $\[{S\left( \nu \right)}\]$ - непрерывная слева, монотонно неубывающая, ограниченная функция.

то резонно рассмотреть $S(\nu) = \int_{-\infty}^{\nu}s(u)du$ (обобщенную функцию распределения спектральной меры $\mu$ с плотностью $s = s(u) $).


Или вас интересует чисто математический аспект - как можно заочно убедиться, имея преобразование Фурье функции, что для него существует обратное преобразование? Ну, так для этого достаточно проверить выполнение условия Дини (или, например, как вы уже упоминали выше, непрерывность и конечность левой и правой производных).

[ShMaxG]

_hum_ в сообщении #517462 писал(а):

то резонно рассмотреть (обобщенную функцию распределения спектральной меры с плотностью ).

Ну да, резонно. А я что делаю?

_hum_ в сообщении #517462 писал(а):

Или вас интересует чисто математический аспект - как можно заочно убедиться, имея преобразование Фурье функции, что для него существует обратное преобразование? Ну, так для этого достаточно проверить выполнение условия Дини (или, например, как вы уже упоминали выше, непрерывность и конечность левой и правой производных).

Ну это все хорошо, вот только в Миллере, "Теория случайных процессов", ни про условия Дини, ни про конечность односторонних производных, речи не идет. Там написано просто: если имеем абсолютно интегрируемую непрерывную ковариационную функцию, то спектральная плотность существует и определяется обратным преобразованием Фурье. Т.е. формула обращения выполнена, а условий на односторонние производные нет.

Но, по всей видимости, в первом посте я решил все правильно.

[_hum_]

ShMaxG в сообщении #517562 писал(а):

Но, по всей видимости, в первом посте я решил все правильно.

Какое ж там решение...Похоже больше на мысли вслух. А решение в вашем случае - это доказательство - последовательное математически строгое рассуждение со всеми необходимыми ссылками на исходные результаты, ту же теорему Хинчина.

[Хорхе]

Можно вообще явно указать процесс, для которого это ковариационная функция: $X_t = t_0^{-1/2}(W_{t_0+t}-W_t)$, где $W_t$ -- стандартный винеровский процесс.

[ShMaxG]

_hum_ в сообщении #517602 писал(а):

Какое ж там решение...Похоже больше на мысли вслух. А решение в вашем случае - это доказательство - последовательное математически строгое рассуждение со всеми необходимыми ссылками на исходные результаты, ту же теорему Хинчина.

Хорошо, а можете показать тогда, как бы Вы решили задачу?

-- Вт дек 20, 2011 15:46:35 --

Вообще, как решаются такие задачи? Понятно, что алгоритма на все случаи жизни нет. Но должны же быть какие-то общие соображения? Какая-то последовательность действий, которая приводит к ответу.

[_hum_]

Должно быть что-то типа такой схемы:
в соответствие с результатом таким-то, для того чтобы функция была ковариационной функцией некоторого стац. случайного процесса достаточно (необходимо и достаточно), чтобы выполнялось условие такое-то. Убедимся, что оно в нашем случае выполнятеся:
действительно, <бла-бла-бла>, следовательно <бла-бла-бла>.
Ч.т.д.

Цитата:

Вообще, как решаются такие задачи? Понятно, что алгоритма на все случаи жизни нет. Но должны же быть какие-то общие соображения? Какая-то последовательность действий, которая приводит к ответу.

Общий подход - найти подходящий для проверки критерий (утверждение, дающее необходимое и достаточное условие) и применить его к вашему случаю.

[ShMaxG]

ShMaxG в сообщении #517642 писал(а):

Хорошо, а можете показать тогда, как бы Вы решили задачу?

[_hum_]

По варианту приведенной вами теореме Хинчина достаточно проверить, что данная функция $C = C(t)$ представима в виде
$C(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}dS(\nu)}$, где $S( \nu )$ - непрерывная слева, монотонно неубывающая, ограниченная функция. А в этом можно убедиться, если, опираясь на то, что она удовлетворяет условию Дини, и найденный вами ее Фурье-образ $s(\nu) = (1 - \cos\nu t_0)/(\pi\nu^2 t_0)$ абсолютно интегрируем (а значит, обратное преобразование является также интегралом в обычном смысле), представить ее через обратное преобразование Фурье: $C\left( t \right) = (2\pi)^{-1/2} \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\nu t}}s(\nu)d\nu$. Очевидно, $dS(\nu) = (2\pi)^{-1/2}s(\nu)d\nu$.

[ShMaxG]

Спасибо!

В общем, я попробую сейчас сформулировать достаточное условие того, что функция $\[R\left( \tau \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. стационарного случайного процесса, а Вы проверьте, пожалуйста.


Если функция $\[R\left( \tau \right)\]$ непрерывна, имеет односторонние производные во всех точках и абсолютно интегрируема, а функция $\[s\left( \nu \right)\]$, определяемая формулой

$$\[s\left( \nu \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - i\tau \nu }}R\left( \tau \right)d\tau } \]$$

неотрицательна и абсолютно интегрируема, то (согласно теореме об обращении преобразования Фурье)

$$\[R\left( \tau \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\tau \nu }}s\left( \nu \right)d\nu } = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i\tau \nu }}dS\left( \nu \right)} ,{\rm{ }}S\left( \nu \right) = \int\limits_{ - \infty }^\nu {s\left( t \right)dt,} \]$$

где функция $\[S\left( \nu \right)\]$ является ограниченной, непрерывной слева и монотонной неубывающей функцией, и, следовательно, (согласно теореме Хинчина) функция $\[R\left( \tau \right)\]$ является ковариационной функцией некоторого непрерывного в с.к. стационарного случайного процесса.

[_hum_]

ShMaxG в сообщении #517693 писал(а):

имеет односторонние производные во всех точках

ограниченные

А так, в общем, правильно. Токо наверное короче можно было: если функция удовлетворяет условию Дини и имеет неотрицательный абсолютно-интегрируемый фурье-образ, то и все.