Норма оператора

[Samir]

Помогите вычислить норму такого оператора:

$$A:l_{2}\rightarrow l_{1}, Ax=\left (\frac {x_{1}} {\sqrt{2}}, ..., \frac {x_{k}} {\sqrt{2^k}},...\right )$$

Как здесь обычную сумму расписать через сумму квадратов?

[ewert]

Просто примените неравенство Коши-Буняковского к $\|Ax\|_1=\sum_k|x_k|\cdot\frac1{\sqrt{2^k}}$.

[Samir]

Я применил это неравенство,получил константу ограниченности, равную 1, то есть $||A||\leqslant 1$
Как теперь норму найти? Я так понимаю, надо взять такое $x_{0}$, чтобы $||x_{0}||=1$ и затем получить, что $||A|| \geqslant 1$, только как такое $x_{0}$ подобрать?

[Dan B-Yallay]

Samir в сообщении #519145 писал(а):

Я применил это неравенство,получил константу ограниченности, равную 1, то есть $||A||\leqslant 1$
Как теперь норму найти? Я так понимаю, надо взять такое $x_{0}$, чтобы $||x_{0}||=1$ и затем получить, что $||A|| \geqslant 1$...?

Hадо взять такое $x_{0}$, чтобы $||x_{0}||=1$ и затем получить, что $||A(x_0)||= 1$

Samir в сообщении #519145 писал(а):

только как такое $x_{0}$ подобрать?

$x_0=\{\dfrac 1{\alpha_1}, \dfrac 1 {\alpha_2}, \dfrac 1 {\alpha_3}\ldots\}$

$$\|x_0\|_{l_2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\alpha^2_{k}}}=1=\|A(x_0)\|_{l_1}= \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\alpha_k\sqrt{2^k}}$$

$$\alpha_k=?$$

[ewert]

Дело попросту в том, что неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство, если оба вектора параллельны (или, что в данном случае эквивалентно, просто одинаковы). А вектор из степеней двоек явно принадлежит эль-два, ч.т.д.

[Samir]

Спасибо большое. Всё понятно теперь