Система уравнений. Почему 2 свободные переменные?

[Andrei94]

У меня получилось, что в системе уравнений 1 свободная переменная, а в ответе -- две? Почему, ошибку искал, но не нашел.

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3+4x_4-x_5=-1\\ x_1+2x_2-3x_3+x_4+2x_5=1\\ 5x_1-5x_2+12x_3+11x_4-4x_5=-4\\ x_1-3x_2+6x_3+3x_4-3x_5=-2\\ \end{cases}$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 1&2& -3&1&2&1\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 1& -3& 6& 3&-3&-2\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 1&2& -3&1&2&1\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 0& -5& 9& 2&-5&-3\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 0& -5& 9& 2&-5&-3\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& -15& 27& 6&-15&-9\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&-1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 15&30& -45&15&30&15\\ 0&-30&54&12&-28&-18\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&0&9&27&2&-3\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 10& -5& 15&20&-5&-5\\ 10&20& -30&10&20&10\\ 0&0&9&27&2&-3\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 10& -5& 15&20&-5&-5\\ 0&25& -45&-10&25&15\\ 0&0&9&27&2&-3\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&5& -9&-2&5&3\\ 0&0&9&27&2&-3\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&-1&4&-1\\ 0&5& -9&5&-2&3\\ 0&0&9&2&27&-3\\ 0& 0& 0& 1&0&0\\ \end{array}\right)$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3-x_5+4x_4=-1\\ 5x_2-9x_3+5x_5-2x_4=1\\ 9x_3+2x_5+27x_4=-3\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3=-1-4C\\ 5x_2-9x_3=1+2C\\ 9x_3=-3-27C\\ x_4=C\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+3(-\frac{1}{3}-3C)=-1-4C\\ 5x_2-9(-\frac{1}{3}-3C)=1+2C\\ x_3=-\frac{1}{3}-3C\\ x_4=C\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2=-1-4C+1+9C=5C\\ 5x_2=1+2C-3-27C=-2-25C\\ x_3=-\frac{1}{3}-3C\\ x_4=C\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-(-\frac25-5C)=-1-4C+1+9C=5C\\ x_2=-\frac25-5C\\ x_3=-\frac{1}{3}-3C\\ x_4=C\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1=-1-4C+1+9C=5C-\frac25-5C=-\frac25\\ x_2=-\frac25-5C\\ x_3=-\frac{1}{3}-3C\\ x_4=C\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1=-\frac15\\ x_2=-\frac25-5C\\ x_3=-\frac{1}{3}-3C\\ x_4=C\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\ \end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}0\\-5\\-3\\1\\0\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-1/5\\-2/5\\-1/3\\0\\0\\ \end{pmatrix}$$

[phys]

Проверять такую арифметику конечно с ума сойдешь, вам бы MATLAB...

[Andrei94]

phys в сообщении #516953 писал(а):

Проверять такую арифметику конечно с ума сойдешь, вам бы MATLAB...

Я вот не поленился, проверил это все чудо, а матлабом пользоваться не умею(

[ИСН]

Если Вы принципиально отвергаете системы компьютерной алгебры (онлайн-решатели точно есть; может, где-то есть и пошаговые), то возьмите любое решение, которое подходит под ответ в учебнике и не подходит под Ваш, и тупо подставляйте его в систему на каждом шаге, начиная с самого первого. Сначала будет подходить, а в какой-то момент перестанет, я гарантирую это.

[Andrei94]

ИСН в сообщении #516958 писал(а):

Если Вы принципиально отвергаете системы компьютерной алгебры (онлайн-решатели точно есть; может, где-то есть и пошаговые), то возьмите любое решение, которое подходит под ответ в учебнике и не подходит под Ваш, и тупо подставляйте его в систему на каждом шаге, начиная с самого первого. Сначала будет подходить, а в какой-то момент перестанет, я гарантирую это.

Спасибо.

В выбрав 2 константы я подставлю

$\vec x=(-5;5;2;2;0)^T$ во все строчки

[Nemiroff]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282*x_1-x_2%2B3*x_3%2B4*x_4-x_5%3D-1%29%2C+%28x_1%2B2*x_2-3*x_3%2Bx_4%2B2*x_5%3D1%29%2C+%285*x_1-5*x_2%2B12*x_3%2B11*x_4-4*x_5%3D-4%29%2C+%28x_1-3*x_2%2B6*x_3%2B3*x_4-3*x_5%3D-2%29
Вольфрам не прощает.

[Andrei94]

Nemiroff в сообщении #516981 писал(а):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282*x_1-x_2%2B3*x_3%2B4*x_4-x_5%3D-1%29%2C+%28x_1%2B2*x_2-3*x_3%2Bx_4%2B2*x_5%3D1%29%2C+%285*x_1-5*x_2%2B12*x_3%2B11*x_4-4*x_5%3D-4%29%2C+%28x_1-3*x_2%2B6*x_3%2B3*x_4-3*x_5%3D-2%29
Вольфрам не прощает.

Спасибо, именно такой ответ должен получиться, но у меня вот не выходит, утомился подставлять, кажется, что проще заново решить.

[Nemiroff]

Как вы из шестой матрицы получили седьмую?

[mihailm]

Посмотрел на решение и обнаружил, что это не метод Гаусса, а какой-то беспредел, первое преобразование заключается в том что из 4-й строки вычитается вторая, далее проверять не стал

[Andrei94]

Nemiroff в сообщении #516990 писал(а):

Как вы из шестой матрицы получили седьмую?

К третьей строчке шестой матрицы прибавил вторую, а затем вторую разделил на 3. И получилась седьмая

[Nemiroff]

Andrei94 в сообщении #516995 писал(а):

Nemiroff в сообщении #516990 писал(а):

Как вы из шестой матрицы получили седьмую?

К третьей строчке шестой матрицы прибавил вторую, а затем вторую разделил на 3. И получилась седьмая

Ну вот неправильно. В первом столбце ошибка.

[Andrei94]

Понятно, спасибо, забыл что ноль не уничтожится....Спасибо огромное, сейчас все получится!

-- 18.12.2011, 22:49 --

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3+4x_4-x_5=-1\\ x_1+2x_2-3x_3+x_4+2x_5=1\\ 5x_1-5x_2+12x_3+11x_4-4x_5=-4\\ x_1-3x_2+6x_3+3x_4-3x_5=-2\\ \end{cases}$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 1&2& -3&1&2&1\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 1& -3& 6& 3&-3&-2\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 1&2& -3&1&2&1\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 0& -5& 9& 2&-5&-3\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 0& -5& 9& 2&-5&-3\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& -15& 27& 6&-15&-9\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&-1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 10& -5& 15&20&-5&-5\\ 10&20& -30&10&20&10\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&25& -45&-10&25&15\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&5& -9&-2&5&3\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& -1&4&3&-1\\ 0&15& -27&-6&15&9\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& -1&4&3&-1\\ 0&15& -27&-6&15&9\\ 0&0&0&0&-1&0\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& -1&4&3&-1\\ 0&15& -27&-6&15&9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&15& 15&-6&-27&9\\ 0& 0& 1& 0&0&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&5& 5&-2&-9&3\\ 0& 0& 1& 0&0&0\\ \end{array}\right)$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+4C_2+3C_1=-1\\ 5x_2-2C_2-9C_1=3\\ x_3=С_1\\ x_4=С_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2=-1-4C_2-3C_1\\ 5x_2=2C_2+9C_1+3\\ x_3=С_1\\ x_4=С_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-(\frac25C_2+\frac95C_1+\frac15)=-1-4C_2-3C_1\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=С_1\\ x_4=С_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1=-1-4C_2-3C_1+\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=С_1\\ x_4=С_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1=-\frac25-\frac65C_1-\frac{18}5C_2\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=С_1\\ x_4=С_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1=-\frac2{10}-\frac6{10}C_1-\frac{18}{10}C_2\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac15\\ x_3=С_1\\ x_4=С_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\ \end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}-0,6\\9/5\\1\\0\\0\\ \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}-1,8\\2/5\\0\\1\\0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-0,2\\1/5\\-0\\0\\0\\ \end{pmatrix}$$

-- 18.12.2011, 22:51 --

Оу, все это финиш...Какой-то глюк опять

[svv]

Возьмите исходную матрицу.
Сложите строки: первую, вторую и дважды четвертую.
Получится третья.

[Nemiroff]

Цитата:

Оу, все это финиш...Какой-то глюк опять

Из последней матрицы система получена неверно.

(Оффтоп)

Какой-то ужасный способ применяется.

[Andrei94]

Как-то так, немного исправился...
Пока это писал, уже звездочки стали плавать перед глазами и цифр не видно)))

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3+4x_4-x_5=-1\\ x_1+2x_2-3x_3+x_4+2x_5=1\\ 5x_1-5x_2+12x_3+11x_4-4x_5=-4\\ x_1-3x_2+6x_3+3x_4-3x_5=-2\\ \end{cases}$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 1&2& -3&1&2&1\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 1& -3& 6& 3&-3&-2\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 1&2& -3&1&2&1\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 0& -5& 9& 2&-5&-3\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 5&-5&12&11&-4&-4\\ 0& -5& 9& 2&-5&-3\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& -15& 27& 6&-15&-9\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 5&10& -15&5&10&5\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&-1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 10& -5& 15&20&-5&-5\\ 10&20& -30&10&20&10\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&25& -45&-10&25&15\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&5& -9&-2&5&3\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& -1&4&3&-1\\ 0&15& -27&-6&15&9\\ 0&-15&27&6&-14&-9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& -1&4&3&-1\\ 0&15& -27&-6&15&9\\ 0&0&0&0&-1&0\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& -1&4&3&-1\\ 0&15& -27&-6&15&9\\ 0& 0& 0& 0&1&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&15& 15&-6&-27&9\\ 0& 0& 1& 0&0&0\\ \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 2& -1& 3&4&-1&-1\\ 0&5& 5&-2&-9&3\\ 0& 0& 1& 0&0&0\\ \end{array}\right)$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2+4C_2-C_1=-1\\ 5x_2-2C_2-9C_1=3\\ x_3=C_1\\ x_4=C_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-x_2=-1-4C_2+C_1\\ 5x_2=2C_2+9C_1+3\\ x_3=C_1\\ x_4=C_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1-(\frac25C_2+\frac95C_1+\frac15)=-1-4C_2+C_1\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=C_1\\ x_4=C_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1=-1-4C_2+C_1+\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=C_1\\ x_4=C_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x_1=-\frac25-\frac{14}5C_1-\frac{18}5C_2\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=C_1\\ x_4=C_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1=-\frac2{10}-\frac{14}{10}C_1-\frac{18}{10}C_2\\ x_2=\frac25C_2+\frac95C_1+\frac35\\ x_3=C_1\\ x_4=C_2\\ x_5=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\ \end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}-0,6\\9/5\\1\\0\\0\\ \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}-1,8\\2/5\\0\\1\\0\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-0,2\\3/5\\0\\0\\0\\ \end{pmatrix}$$

-- 18.12.2011, 23:18 --

svv в сообщении #517053 писал(а):

Возьмите исходную матрицу.
Сложите строки: первую, вторую и дважды четвертую.
Получится третья.

А так будет проще?! Что-то третий раз браться не хочется, ищу ошибки пока что

-- 18.12.2011, 23:19 --

(Оффтоп)

Не знаю способа проще