Найти вероятность and является ли оценка состоятельной?

[mr.tumkan]

1) $\{\xi_1,\xi_2,...,\xi_n\}$ - выборка из нормального распред

$P\{\xi_i=3\}=p$

$P\{\xi_i=2\}=1-p$

Найти вероятность

$\mathbb{P}\{\xi_{n;n}\leqslant 3\}$

$\xi_{n;n}=\max\{\xi_1,\xi_2,...,\xi_n\}$

Мне тут не понятен вопрос. Ведь у нас максимум -- это 3, так по-любому вероятность тогда должна быть равна единице...Или я не так понял? Если не так, то как тут считать?

2) $\{\xi_1,\xi_2,...,\xi_n\}$ - выборка из равномерного распределения на отрезке $[\theta-2,\theta+2]$
Является ли оценка $\hat\theta=\overline \xi_n$ состоятельной оценкой параметра $\theta$?

По определению оценка \hat{\theta} \equiv \hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n) называется состоятельной, если \hat{\theta}\to \theta \quad \text {(по вероятности)}, \quad \forall \theta\in \Theta при n \to \infty.

С чего тут начать? Нужно использовать неравенство Чебышева?

[Хорхе]

Условие 1) весьма странное. Сначала дискретное распределение названо нормальным, потом предлагают найти вероятность достоверного события.

2) Можно использовать неравенство Чебышева. Можно классический закон больших чисел. Можно усиленный закон больших чисел и получить сильную состоятельность.

[mr.tumkan]

Хорхе в сообщении #516884 писал(а):

Условие 1) весьма странное. Сначала дискретное распределение названо нормальным, потом предлагают найти вероятность достоверного события.

2) Можно использовать неравенство Чебышева. Можно классический закон больших чисел. Можно усиленный закон больших чисел и получить сильную состоятельность.

Спасибо!

1) Ой, там нету слова "нормальное" -- это я не туда посмотрел, там написано -- просто распределение.

2) Неравенство Чебышева

$ \mathbb{P}\left(|\xi-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}$

Для равномерного распределения $\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{2\theta}{2}=\theta$

$\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}=\sqrt{\frac{(\theta+2-\theta+2)^2}{12}}=\sqrt{\frac{16}{12}}=\frac{4}{\sqrt 3}$

Если правильно, то нер-во Чебышева должно принять вид:

$\mathbb{P}\left(|\xi-\theta|\geqslant a\right) \leqslant \frac{16}{3a^2}$

А чему равно $a$? Как это относится к состоятельности?

[mr.tumkan]

(Оффтоп)

Мда, видимо я написал что-то ужасное...

[--mS--]

Ну не то чтобы ужасное, тоскливо просто глядеть на это, вот никто и не хочет портить себе настроение...

1) Если уж Вы непеременно хотите неравенством Чебышева воспользоваться, дайте определение сходимости по вероятности данной оценки к данному параметру.
2) Сформулируйте какой-нибудь из законов больших чисел (любой, кроме Бернулли).

[mr.tumkan]

2) Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$, определённых на одном вероятностном пространстве (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). То есть их $\mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j$. Пусть $\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Обозначим $S_n$ выборочное среднее первых $n$ членов:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тогда $S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu$.

Равномерное распределение на отрезке $[\theta-2,\theta+2]$ имеет $\mu=\theta$

В нашей задаче вместо $S_n$ стоит $\overline \xi_n$

Таким образом, в силу закона больших чисел $\overline \xi_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \theta$

Значит оценка является состоятельной

Правильно?

1) $\{\overline\xi_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по вероятности к $\theta$, если

$\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|\overline\xi_n - \theta| >\varepsilon) = 0$.

[--mS--]

mr.tumkan в сообщении #517518 писал(а):

Таким образом, в силу закона больших чисел $\overline \xi_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \theta$

Значит оценка является состоятельной

Правильно?

Правильно. Ковариации Вам потребовались для закона больших чисел Чебышёва? В нём тогда и про дисперсии что-то говорить придётся. Других ЗБЧ вам не давали?

mr.tumkan в сообщении #517518 писал(а):

1) $\{\overline\xi_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по вероятности к $\theta$, если

$\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|\overline\xi_n - \theta| >\varepsilon) = 0$.

И это правильно. Теперь видно, что какую случайную величину вместо $\xi$ брать неравенстве Чебышёва, и кто там будет $a$?