Расстояние от точки до прямой

[Vurdalakys]

Здравствуйте. Помогите разобраться в задаче.
Найти расстояние от точки М(1;-2;-1) до прямой $L{:}\;\dfrac{x+1}5=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{-5}$
Я провел плоскость через точку M так чтобы направляющий вектор прямой был нормалью к плоскости. У меня получилось уравнение плоскости: $5x-y-5z+D=0$ А что дальше делать не знаю. Решать только этим способом.

[SpBTimes]

Плоскость должна проходить через точку $M$. Найдите затем точку пересечения $P$ пл-ти и прямой, после чего найдёте длину $MP$

[Vurdalakys]

Я представил каноническое уравнение прямой параметрически. Затем нашел векторное произведение $a(5,-1,-5)$ и $b(x1-x0,y1-y0,z1-z0)$, т.е. $b(2,0,-1)$
$[a,b]=(1,-5,2)$. Но при этом уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ при подстановке $t$ из параметрически представленного уравнения прямой не имеет решения т.к. все сокращается. Помогите.

[ewert]

Vurdalakys в сообщении #516668 писал(а):

Решать только этим способом.

Ну для конкретно этой задачки -- данный способ далеко не оптимален. Гораздо проще найти проекцию вектора $\overrightarrow{MN}$ (где $N$ -- очевидная точка на прямой) на направление направляющего вектора прямой, после чего применить теорему Пифагора. Но если уж Вас заставляют кровь из носу, но решать именно этим способом -- то да, ищите пересечение точки и плоскости. Это -- шаблонная подзадачка.

-- Вс дек 18, 2011 17:43:03 --

Vurdalakys в сообщении #516817 писал(а):

Затем нашел векторное произведение

Ну кто Вас об этом просил, ради бога?...

Раз уж Вы выписали параметрические уравнения (кстати, тут Вы их так и не выписали) -- просто тупо подставляйте их в уравнение плоскости. Коэффициент при $t$ при этом ну никак не сможет исчезнуть, т.к. он равен сумме некоторых квадратов.

[Vurdalakys]

Я нашел векторное произведение как раз для того чтобы потом через него выразить уравнение плоскости, иначе коэффициент $D$ не известен.

[Алексей К.]

Vurdalakys в сообщении #516668 писал(а):

Я провел плоскость через точку M так чтобы направляющий вектор прямой был нормалью к плоскости. У меня получилось уравнение плоскости: $5x-y-5z+D=0$

А как Вам такое уравнение: $5(x-x_M)-(y-y_M)-5(z-z_M)z=0$? Согласитесь, что весьма приятное.

[Vurdalakys]

Алексей К. в сообщении #516829 писал(а):

Vurdalakys в сообщении #516668 писал(а):

Я провел плоскость через точку M так чтобы направляющий вектор прямой был нормалью к плоскости. У меня получилось уравнение плоскости: $5x-y-5z+D=0$

А как Вам такое уравнение: $5(x-x_M)-(y-y_M)-5(z-z_M)z=0$? Согласитесь, что весьма приятное.

Я не совсем понимаю смысл этой записи.

[Алексей К.]

А так?
$M=(x_M,y_M,z_M)=(1,-2,-1)$.

$5(x-1)-(y+2)-5(z+1)=0$

[Vurdalakys]

Что я смогу получить с помощью этого уравнения и почему здесь нет $D$?

Если я правильно понимаю то получается что если перемножить то $Xm,Ym,Zm$ как раз и дадут $D$?

[Алексей К.]

Индексы: x_0, x_M, x_{123}, степени: y^2, z^{2011} итд. (

$A=5$, как было и у Вас.
Я написал уравнение плоскости с Вашим же нормальным вектором, и проходящей через вожделенную точку (подставьте значения координат для этой точки). Раскройте скобочки в моём уравнении и скажите "Ой!". Это, конечно, если я правильно понял Ваши непонятки.

-- 18 дек 2011, 18:19:36 --

Да, правильно пониамете, и постарайтесь понять эту мелочь до конца, полностью.

-- 18 дек 2011, 18:21:38 --

Увидьте, что $D$ в моём уравнении есть, только оно так хорошо спрятано. Что как бы и объясняет происхождение этого $D$.

[ewert]

Vurdalakys в сообщении #516839 писал(а):

Если я правильно понимаю то получается что если перемножить то $Xm,Ym,Zm$ как раз и дадут $D$?

Вы неправильно понимаете. Т.е. если даже и правильно, то -- совершенно безрассудно. Ситуация гораздо более тривиальна. У Вас уже есть все коэффициенты уравнения плоскости, кроме одного. Ну так и зафиксируйте этот коэффициент, тупо подставив в уравнение координаты точки, заведомо лежащей на прямой. Какие конкретно там для этого арифметические операции понадобятся -- совершенно не важно.

[Vurdalakys]

Параметрические уравнения получились такие $x=5t-1;y=-t-2;z=-5t$ При подставлении ответ получается неверным, а именно:
$5(5t-1)-(-t-2)-5(-5t)-12=0$
$t=5/17$
координаты точки пересечения прямой и плоскости $P((25/17)-1,((-5/17)-2),(-25/17))$
Длина вектора $MP(\sqrt{(-11/17)^2)+((-1)^2)+((23/17)^2)}=\sqrt{939/289}$ Ответ неверен.

-- 18.12.2011, 18:06 --

Всем спасибо я нашел свои ошибки и решил задачу!!!

[ewert]

Vurdalakys в сообщении #516857 писал(а):

Параметрические уравнения получились такие $x=5t-1;y=-t-2;z=-5t$

Ой напрасно они такими получились.

[Vurdalakys]

ewert в сообщении #516867 писал(а):

Vurdalakys в сообщении #516857 писал(а):

Параметрические уравнения получились такие $x=5t-1;y=-t-2;z=-5t$

Ой напрасно они такими получились.

Нет все правильно. Я уже решил задачу. Но если хотите можем обсудить это.

[ewert]

Не хочу, я там не туда посмотрел. Ну а что числа всё равно немножко дикие -- вопрос к составителям.