Геометрическая задача. Описанная окружность

[Yernar]

Через точку $D$ основания $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена прямая $CD$, пересекающая описанную около треугольника $ABC$ окружность в точке $E$. Найдите $AC$, если $CE = 3 $ и $DE = DC$.

В решениях в Интернете, подразумевается, что $AB$ - диаметр, но из моего рисунка видно, что это не обязательно так.



$OD$ перпендикуляр к $CE$. $DC = DE = 1,5$. Дальше тупик...

[zhoraster]

Возвращено из Карантина.

[Nemiroff]

Ну возьмите к примеру выражение для радиуса описанной окружности через сторону и противолежащий угол. Выразите радиус, перпендикуляры через $AC$ и угол.

[Yernar]

Спасибо.

$R = \frac {AC}{2\sin{\angle B}} = \frac {CE}{2\sin{\angle F}}$
Отсюда получаем,
$AC = \frac {3 \sin \angle B}{\sin \angle F}$

Теперь надо как-то выразить углы $\angle B$ и $\angle F$ один через другой...

[Nemiroff]

Это как-то жестоко. Ну не знаю, выразите через $R$ последовательно $OD, DM, CM$. А потом уже $AC$ с помощью угла.

[Yernar]

$OD=R\cos\angle E$
$DM=OD\sin\angle E=R\sin\angle E\cos\angle E$
$CM=DM\tg\angle E=R\sin^{2}\angle E$

$AC^{2}=CM^{2}+AM^{2}=R^{2}\sin^{4}\angle E+AM^{2}$
Находим $AM^{2}$:
$AM^{2}=R^{2}-OM^{2}=R^{2}-(R-CM)^{2}=R^{2}-(R-R\sin^{2}\angle E)^{2}=2R^{2}\sin^{2}\angle E-R^{2}\sin^{4}\angle E$

Отсюда, $AC^{2}=R^{2}\sin^{4}\angle E+2R^{2}\sin^{2}\angle E-R^{2}\sin^{4}\angle E=2R^{2}\sin^{2}\angle E$

$AC=\sqrt{2}R\sin\angle E$

[Nemiroff]

Так. Забудьте про точки $F$ и $E$.
Есть ваше $R = \frac {AC}{2\sin{\angle B}}$
Затем $OD, DM, CM$ по теореме Пифагора и свойству высоты прямоугольного треугольника.

Хотя с другой стороны, вы уже получили формулу конечную. Вы же знаете радиус на синус угла. Подставить просто. Получаем $3/\sqrt 2$

[Yernar]

Я и не заметил, что надо просто подставить.
Nemiroff, спасибо вам большое.