Производная обратной\параметрический функции

[Unconnected]

Задание, выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций $x=x(y)$, найти их производные и построить графики, $y=2x^2-x^4$.
Во-первых, как выделить "однозначную непрерывную ветвь"? Икс через игрик что-то не выражается..
По второму пункту, производная обратной функции будет равна $\frac{1}{4x-4x^3}$?

[svv]

Запишем в таком виде: $x^4-2x^2+y=0$. Как найти $x(y)$, всё ещё непонятно.
Обозначим $w=x^2$, тогда $w^2-2w+y=0$. А теперь?

[Unconnected]

А, теперь да)
Кстати, вот бывают задания, проверить функцию на непрерывность, то есть предел справа-слева (читай, просто предел) должен быть равен значению в точке.. и препод сказал, что надо проверять "подозрительные" точки, т.е. где знаменатель обращается в нуль, или ещё что-нибудь такое.. а что, в не-подозрительных не может быть неустранимый скачок первого рода, например? Каков критерий подозрительности?

[arseniiv]

Это вроде бы следует из теорем о том, что сумма, разность, произведение непрерывных на множестве функций непрерывны на нём, а их частное непрерывно везде, кроме точек, где функция-знаменатель обращается в ноль и непрерывности элементарных функций в разных заданных местах. Увы, доказательства не помню.

[Алексей К.]

Unconnected в сообщении #513575 писал(а):

По второму пункту, производная обратной функции будет равна $\frac{1}{4x-4x^3}$?

Да, правильно. Я бы уточнил: $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{4x(y)-4x(y)^3}$. Подставляя для разных ветвей разные $x(y)$, получите разные явные выражения типа $x'_y(y)=f_{1,2,3,4}(y)$.

[Unconnected]

А вот задание, найти производную $y=\arccos(1/x)$. Оно равно по-моему $\frac{-1}{sin(y)}=\frac{-1}{\sqrt[2]{1-\frac{1}{x^2}}}$. А то ответ слегка другой.

[myra_panama]

А вы правильно продифференцировали ? Там производной от сложной функции...

-- Вс дек 18, 2011 07:38:47 --

$y=\arccos{u(x)}$

$y'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

[Unconnected]

Я сначала так и делал, а потом увидел в Фихтенгольце пример для arcsin(x), там сначала дифференциролвалось по y как для не-сложной функции, а потом подстановка просто.

[myra_panama]

Вы не правильно продифф...,

$\frac{1}{\cos y}=x$

$\frac{-y'\cdot\sin y}{\cos^2y}=1$

$y'\cdot\frac{\sqrt{1-\frac1{x^2}}}{\frac1{x^2}}=-1$

[Unconnected]

Я делал по формуле $y'(x)=\frac{1}{x'(y)}$, где $ y=arccos(1/x)$. $x=\frac{1}{cos(y)}$.
$y'(x)=\frac{1}{(\frac{1}{\cos(y)})'}=\frac{1}{(\frac{\sin(y) \cdot y'}{(\cos(y))^2})'}$
Тут уже какая-то ошибка, нет? Потому что как у Вас, не сокращается $y'$ .

Если $y'$ принять за 1, то ответ сходится..

[myra_panama]

Unconnected в сообщении #516959 писал(а):

Я делал по формуле $y'(x)=\frac{1}{x'(y)}$, где $ y=arccos(1/x)$. $x=\frac{1}{cos(y)}$.
$y'(x)=\frac{1}{(\frac{1}{\cos(y)})'}=\frac{1}{(\frac{\sin(y) \cdot y'}{(\cos(y))^2})'}$
Тут уже какая-то ошибка, нет? Потому что как у Вас, не сокращается $y'$ .

Если $y'$ принять за 1, то ответ сходится..

Вы продифференцировали... $y=\frac1{\cos y}$ или $x=\frac{1}{\cos y}$????

[Unconnected]

Нуу $x=\frac{1}{\cos y}$..

[myra_panama]

нуу нууу продифферен.....
$1=()^'$

[Unconnected]

Я не пойму, что Вы хотите сказать...

[arseniiv]

Если $a = b$, то $a' = b'$.