Биективность R-линейного преобразования

[JMH]

Имеется $T(z)=\lambda z+\mu\overline{z}$, где $\lambda, \mu, z$ - комплексные числа. Известно (незадолго была теоремка), что такое преобразование является $\mathbb{R}$-линейным. Нужно доказать, что оно биективно, когда $\lambda\overline{\lambda}\neq\mu\overline{\mu}$. При этом предлагается НЕ использовать тот факт, что $\lambda\overline{\lambda}-\mu\overline{\mu}$ является определителем $T$.

Разумеется, я поступил наоборот - представил $T$ в виде матрицы два на два и доказал, что её определитель, в условиях задачи, таки равен выражению выше. Понятно, что матрица невырождена, когда $\lambda\overline{\lambda}\neq\mu\overline{\mu}$.

Помогите, пожалуйста, найти другой способ доказать требуемое. Спасибо!

[svv]

$w=\lambda z+\mu\overline{z}$, тогда $\overline w=\overline\lambda \overline z+\overline\mu z$.
Решаем относительно $z$, как в шестом классе:
$\begin{cases}\lambda z+\mu\overline{z}=w\\ \overline\mu z+\overline\lambda \overline z=\overline w\end{cases}$
Хочешь не хочешь, а в знаменателе будет $\lambda\overline{\lambda}-\mu\overline{\mu}$, даже если я ничего не знаю о матрицах и определителях. Но далеко от Вашего способа уйти, увы, не получилось.

[bnovikov]

JMH в сообщении #516394 писал(а):

Имеется $T(z)=\lambda z+\mu\overline{z}$, где $\lambda, \mu, z$ - комплексные числа. Известно (незадолго была теоремка), что такое преобразование является $\mathbb{R}$-линейным. Нужно доказать, что оно биективно, когда $\lambda\overline{\lambda}\neq\mu\overline{\mu}$. При этом предлагается НЕ использовать тот факт, что $\lambda\overline{\lambda}-\mu\overline{\mu}$ является определителем $T$.

Требование, мягко говоря, странное. НЕЛЬЗЯ употреблять слово "определитель"? Ну, так обойдемся без него.

Пусть $T(z)=0$ для некоторого $z\ne 0$. Тогда $\lambda z+\mu\overline{z}=0$. Взяв сопряженное, получаем $\overline{\lambda} \overline{z}+\overline{\mu}z=0.$ Имеем систему однородных уравнений относительно $z,\overline{z}$, у которой есть ненулевое решение и т.д.

[JMH]

Т.е. идея в том, чтобы составить систему из данного и сопряжённого ему преобразования. Идея для меня новая и, на мой взгляд, замечательная.

Большое спасибо!