Мегастепень

[Dave]

Последовательность

$$a, a^a, a^{a^a}, a^{a^{a^a}}, \ldots,$$

где $a$ - некоторое положительное вещественное число, сходится к пределу $x$. Какие значения может принимать $x$?

[gris]

Недавно нечто похожее обсуждали. Я даже график нарисовал
График тетрации, так называется эта мегастепень.

[Dave]

(Оффтоп)

Спасибо за термин, теперь буду знать, как это называется. Оказывается многому из того, о чём только сегодня подумал, уже давно придумали название.

Если имелась ввиду эта тема, то там всё-таки нет ответа на вопрос задачи, а доказательства и тем более, так что вопрос пока считаю открытым.

[gris]

Я к тому, что на форуме накопилось достаточно информации, которая находится по слову "тетрация".
Задача интересная.Хорошо, если в Вашей теме появится её строгое решение.

[Руст]

Если $x$ предел, то $a^x=x$. При $a>1$ последовательность растет монотонно до бесконечности и за х можно взять только х, при а=1, х=1. При $0<a<1$ находим единственное решение $x=x_*>a$ этого уравнения. Из пересечения графиков ясно, что решение будет сходится к решению, если $|\ln a x_*|<1$ так как последовательность $x_1=a, x_{n+1}=a^{x_n}$ удовлетворяет условиям при нечетном $n$ $x_n<x_*$ при четном $x_n>x_*$ (доказывается по индукции). Функция $a^{a^x}$ монотонно растущая и так же проходит через пересечение графиков в т. $x_*$. Соответственно $x_*>x_{n+2}>x_n$ при нечетном $n$ и $x_n<x_{n+2}<x_*$ при четном. Соответственно надо найти решение $a=e^{-b}, x_*=\frac 1b$. Получаем $b=e, x_*=\frac{1}{b}=\frac 1e $, Соответственно пределом могут быть только числа $\frac{1}{e}<x\le 1$.

[nnosipov]

Руст в сообщении #516037 писал(а):

Если $x$ предел, то $a^x=x$. При $a>1$ последовательность растет монотонно до бесконечности и за х можно взять только х, при а=1, х=1.

Очень странный текст. Вот правильный ответ: при $1<a<e^{e^{-1}}$ предел равен меньшему корню уравнения $a^x=x$; при $a=e^{e^{-1}}$ предел равен $e$; при $a>e^{e^{-1}}$ предел равен $+\infty$.

[gris]

Слева трудно спорить (я имею в виду сообщение Руста), а справа как бы 1,71828 добавить надо.
Но у автора вопрос другой: доказать, что любое число из интервала и ничто кроме является пределом при некотором основании. То есть доказать, что функция "предельная тетрация", график которой я ещё раз повторю (слева она упирается в точку $(0,e^{-1})$ не только монотонна, но и непрерывна.


Пардон, уточняю: по абсциссе $a$, по ординате предел тетрации. И справа немного подальше и повыше двойки. График рисовался для значений до корня из двух.

Ну и бесконечность в качестве предела тоже надо упомянуть.

[nnosipov]

gris, я так понимаю, что Вы хотите нарисовать график предела в зависимости от $a$?

-- Пт дек 16, 2011 13:21:22 --

gris в сообщении #516041 писал(а):

функция "предельная тетрация", график которой я ещё раз повторю (слева она упирается в точку $(0,e^{-1})$ не только монотонна, но и непрерывна.

Непрерывность довольно очевидна, как и монотонность, впрочем.

[Руст]

nnosipov в сообщении #516040 писал(а):

Руст в сообщении #516037 писал(а):

Если $x$ предел, то $a^x=x$. При $a>1$ последовательность растет монотонно до бесконечности и за х можно взять только х, при а=1, х=1.

Очень странный текст. Вот правильный ответ: при $1<a<e^{e^{-1}}$ предел равен меньшему корню уравнения $a^x=x$; при $a=e^{e^{-1}}$ предел равен $e$; при $a>e^{e^{-1}}$ предел равен $+\infty$.

При a>1 пределом может быть только бесконечность (часть текста пропущено) из- за монотонности.

[ewert]

Диапазон допустимых (для существования конечного предела) значений $a$ достаточно очевиден: ясно, что его границами должны быть значения, определяемые из систем $\begin{cases}a^x=x\\(a^x)'=\pm1\end{cases}$, т.е. из систем $\begin{cases}a^x=x\\a^x\ln a=\pm1\end{cases}$. Системы легко решаются: для плюса будет $a=e^{e^{-1}},\ x=e$ и для минуса $a=e^{-e},\ x=\frac1e$. Т.е. последовательность сходится при $a\in[e^{-1};e^{e^{-1}}]$ и расходится при остальных основаниях.

Только вот теперь надо позаклинать насчёт того, что всё это корректно. При $a>1$ сходимость сама по себе довольно тривиальна (действительно следует фактически лишь из монотонности), надо только убедиться в том, что начальное приближение $x_0=a$ годится; это нетрудно. При $a<1$ несколько сложнее. Тут, напротив, всё заведомо в порядке с начальным приближением (правда, для обоснования сходимости приходится задействовать не столько монотонность, сколько выпуклость). Однако надо ещё убедиться в том, что производная в точке пересечения действительно монотонно зависит от $a$. Ну это тоже не очень трудно.

[nnosipov]

Руст в сообщении #516045 писал(а):

При a>1 пределом может быть только бесконечность (часть текста пропущено) из- за монотонности.

Это Вы погорячились.

[Руст]

ewert в сообщении #516146 писал(а):

Тут, напротив, всё заведомо в порядке с начальным приближением (правда, для обоснования сходимости приходится задействовать не столько монотонность, сколько выпуклость). Однако надо ещё убедиться в том, что производная в точке пересечения действительно монотонно зависит от $a$. Ну это тоже не очень трудно.

Достаточно монотонности $f(x)=a^{a^x}, f'(x)=f(x)a^x\ln^2a>0,$ отсюда следует, что $x_1=a<x_3<x_5<....$ соответственно $x_2>x_4>x_6>...$. Если при $x>x_*$ выполняется $(a^x)'>-1$ то предел общий.
Можно показать так же $f''(x)=f(x)a^x\ln^3a(1+\lna a^x)<0,a>\frac 1e$, так как $a^x<1,lna>-1$.

[Dave]

Руст в сообщении #516176 писал(а):

$f(x)=a^{a^x}, f'(x)=f(x)a^x\ln^2a>0,$ отсюда следует, что $x_1=a<x_3<x_5<....$ соответственно $x_2>x_4>x_6>...$.

Не понял, как из неотрицательности производной следует, что $f(x)>x$ при $x<x_*$ и $f(x)<x$ при $x>x_*$?

Руст в сообщении #516176 писал(а):

Если при $x>x_*$ выполняется $(a^x)'>-1$ то предел общий.

Почему?

Руст в сообщении #516176 писал(а):

Можно показать так же $f''(x)=f(x)a^x\ln^3a(1+\lna a^x)<0,a>\frac 1e$

$f''(x)=f(x)a^x\ln^3a(1+\ln a \cdot a^x)$, если быть точным. И, по-моему, утверждалось, что $\frac 1 e$ - это нижняя граница для $x$, а не для $a$.

К тому же, никто пока не доказал расходимость ряда там, где она есть.

[RIP]

topic28602.html

[ewert]

Dave в сообщении #516237 писал(а):

К тому же, никто пока не доказал расходимость ряда там, где она есть.

Ну это-то как раз совсем тривиально: поскольку вне этого промежутка в предполагаемой предельной точке производная по модулю явно больше единицы -- ни о какой сходимости не может быть даже и речи. Просто потому, что в любой достаточно малой окрестности этой точки каждое следующее приближение заведомо выкидывает нас за пределы этой окрестности.